많은 수학 교재에 실린 오류

갓잘알

oh...

궁금해서 그러는데 그러면 1:1 대응이어야 한다는 어느 추론으로부터 나온 말인가요? 그냥 막 써 둔 것은 아닐테고!

오오 저도 이게 궁금....ㅋㅋ

아마 역함수 아닐까요..?

위 식에서 x=g(t)라고 치환하면 함숫값이 주어진 장정식에서 t값이 일대일 대응이 아니면 여러가지 해가 나올수 있기 때문입니다. 따라서 일대일 대응이어야 고등과정애 해당하는 치환적분을 해결할수 있게되는데 교사용 지도서를 보면 고등과정애 치환적분은 항상 g가 구간내에선 일대일대응이 되는 함수가 출제한다고 써있어서 문제풀때는 고려하지 않아도 됩니다

좀더 구체적으로 알파와 베타가 하나로 결정되야하기 때문이죠

좀더 구체적으로 알파와 베타가 하나로 결정되야하기 때문이죠

일대일 대응이어야 고등과정에 해당하는 치환적분을 해결할 수 있다는 말은 잘못되었다고 생각합니다.
x를 g(t) 형태로 치환하는 경우도 g(α)=a, g(β)=b만 만족한다면 어떠한 t값이 들어가도 동일한 결과가 나오게 되어 있습니다. 그 근거는 교과서의 증명이구요. 이정환님의 논리대로라면 일대일 대응으로 잡았을 때는 여러가지 해가 나오지 않아야 하는데, 일대일 대응으로 구간을 잡더라도 수많은 해가 나올 수 있는데요?

다시 말해, 치환함수가 일대일 대응이어야 한다는 조건이 알파와 베타가 하나로 결정되도록 보장해 주지 않습니다.

이 오류는 대학교 미적분학에서 다변수함수 치환적분의 경우 치환함수가 가역함수여야 한다는 조건이 일변수함수에도 해당된다고 착각한 몇몇 저자들의 오해일 뿐입니다.

와...

귀여엉>

let c(x) = 1 and f(x) = x^2 on R
Clearly, both c(x) and c(f(x)) are integrable on every interval.
Then f maps [-1, 1] onto [0, 1] with f'(x) = 2x
However,
int[0, 1] c(x) = 1 while int[-1, 1] c(x^2)2x = 0.
Hence bijectivity of a change of variables is necessary.

밥먹고와서 설명함

저번에 친구가 반박한 적 잇는 내용이네요
잇다가 왜 반례가 될수없는지 설명할게요

이분도 갓...

진짜 갓갓임 수잘알

제 질문도 답해주세요!! 짱궁금해여

와 ㄹㅇ 영어쓰기까 개멋있네

갓...

갓잘...알 당신은..

애초에 말이 안되는 내용인데...
int [-1,1] c(x^2)2xdx 에서 x^2 = t로 놓는다면 적분구간이 1->1이 되어 0이 나오는데요

Change of variables이 애초에 diffeomorphism의 mapping가지고 하는건데요
다변수함수로 가면 님의 정의대로 하면 문제가 생김

저는 그 부분을 문제삼은게 아닌데요.

문제집에 있는 내용이 잘못되었다고 비판한겁니다.

g(x)가 미분 가능한 함수라면 저 조건은 절대로 필요가 없습니다.

멋있다. .

뭐라는거임? 영어수학 복합지문인가

g가 역함수아님?

ㄴㄴ

그리고 Lebesgue Integral에서 보충:
님이 생각하는 change of variables 정의대로 가봄

Let c be the same as in the previous argument.
Define g as
g(x) = 0 if x = 0 and g(x) = 1 otherwise
Since c and f are Riemann-integrable, they are also Lebesgue-integrable.
Note that g is differentiable almost everywhere with g'(x) = 0.
Clearly,
int[0, 1] c(g(x)) g'(x) = int 0 * 1 = 0.
However, int[0, 1] c(x) = 1 although g(0) = 0 and g(1) = 1

저는 g(x)가 미분가능해야 한다는 조건을 분명히 명시하고 있습니다.

그리고 교과서에 증명이 나오기 때문에 더 말할 필요도 없는데..

글을 정확히 읽고 답변해주세요...

숨마쿰이나 수학의 바이블 책 캡쳐해서 올릴걸 그랬음

초등적인 예제 발견함
f(x) = x, g(x) = x(x-1)이면 g'(x) = 2x임
그리고 g(0) = g(1) = 0이고
int[0, 1] f(g(x))g'(x) = int[0,1] g(x)g'(x)
= int[0, 1] 2x^3- 2x = 1/2[x^4] - [x^2] = 1/2 - 1 = -1/2임
하지만 int[0, 0] f = 0

그거 계산하면 0나오는디 ㅋㅋ
다시 한번 계산해보시고

그리고 더 반례 찾으려해도 안나와요^^
교과서 증명이 틀렷단거도 아니고

울프람 알파 가봄
https://www.wolframalpha.com/input/?i=int(0..1)+(2x%5E3+-+2x)+dx

-1/2이라고 계산해주는데요

오 내가 g'를 잘못계산했군

ㅇㅇ

처음치환적분 배울때 의문이었던 내용

오 1대1 대응 이런거 첨들어봤네여 그냥 막 써도 되는건줄로 알고 있었는데.. 다행히 잘못 알았던건 아니군요

좀더 설명해주실수있나요 ㅜㅜ

뭔소린지 하나도 모르겠다.ㅎ

예전에 이거 보고 구간 0에서 0적분 나오길래 음? 했었는데 사실 아직도 이해가 잘 안되는 부분..

교과서에 증명이 나와있습니다.
이해보단 증명을 통해 확인하면 됩니다.

개정전 숨마쿰 적통에 비슷한 서술이 있었던 것 같은데... 다만 그때는 혹시 모를 오류를 방지하기 위해 한 번 잘 따져봐라 이런 뉘앙스였었던 걸로 기억합니다.

어제 울컥하신 ㅎㅇㅈt도 상관없다하신ㅋㅋ9

제1 환적분과 제2치환적분이 있어서 두개가 다르다고 어디서 들은것 같은데 그건가요?

글쓴이의 글 쓴 의도를 함 생각해보시길...

고등수학에서 해석학적인 논의가 왜 필요한지 ....

위에 님 말씀과 글쓴이의 글을 다시 읽으시면...

큰 오해 없으실 것이라고 생각합니다... ' -' /

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본인이 배우지 못했다 하여 '얕은 지식으로 전공자의 지식을 무시, 매도하는 행위'는 잘못되었다고 봅니다.
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이런 말들은 너무 불필요해 보여서 글 남겼습니다.

초쌤한테 수학자님이랑 문항제작하는 이야기 들었었어요~~나중에 인사한번 드리러갈게요:-)

넵넵 ^^!! 언제든 오세용 ' -'/

죄송합니다 댓글을 잘못 달았네요

제목부터 어그로성인 '오류'라고 자신하면서, 전공자들이 쓴 책에 대해 알지도 못하고 비판하고 있습니다. 글쓴이가 비판하는 것은 당연하고, 비판당하는 것은 부당한 것인가요?
해석학적인 논의가 필요없다고 생각하는 것 자체가 비판의 논지가 무엇인지도 모른채 지적하는 자기모순적인 태도라는 생각이 드시지는 않습니까?
예를 들어 중학교 수학에서 참, 거짓 판별 문제에 "x^2= -1인 수는 없다."라는 문제가 있다고 해봅시다. 중학교 교육과정까지만 배운 친구는 참이라 할것이고, 선행학습으로 고등학교 교육과정까지 배운 친구는 거짓이라 할 것입니다. 그 이전에 이미 저런 논란이 있는 문제를 출제한 출제자가 잘못이 있지 않겠습니까? 분명 수학적으로는 거짓인 문제이고, 교육과정으로는 엄밀히 풀리지 않기 때문입니다. 저것을 고등학교 교육과정을 논하지 않고 그냥 참이라고 보는 것이 진정 합당하다고 생각하십니까?

이 논의도 마찬가지입니다. 정작 본인이 복소수의 존재성을 모르는 중학생의 눈으로 바라보면서 "전공자가 틀렸어! 너희들은 순 엉터리에 모순이야!"라고 말하는 것에 대해 가만히 지켜만 보는 것은 전공자로서 어처구니가 없을 뿐더러, 모욕감까지 느낍니다.
논란은 글쓴이가 조장해놓고 뭐하러 대학교 과정을 끌고오냐, 라고 하신다면 할 말이 없습니다. 그저 아직 덜 배우고 토론의 준비가 되지 않은 가여운 학생정도로 밖에는 보이질 않네요. 물론 글쓴이께서 그러질 않았으니, 그렇게 매도하는 것은 아닙니다. 다만 윗댓글을 작성한 분같은 생각은 위험한 생각이 아닌가 싶네요.

글쓴이가 비판하는 것은 당연하고, 비판당하는 것은 부당한 것인가요?

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비난이라서 댓글 단 것입니다. 수학적인 논의는 하지 않을게요.

수학 못해요.

?? 위 댓글에 대해서 저는 비난이 아니라 태도에 대한 비판의 범주라고 생각되는데요??
객관적으로 본 게시글의 글쓴이는 전공이 무엇인지 모르겠지만 아직 학사과정을 수료중인 대학생이고 수많은 수학과 박사학위를 취득하신 교수님들이 작성한 책과 그 외 수학전문 종사자들의 발언에 대해서 이의제기를 하였습니다. 매우 확신에 찬 어투로 말하며 자신이 발견한 사실에 대해 학원선생 및 참고서등을 작성한 이들마저 잘못되었다며 이를 수많은 다른 학생들에게 알리려 합니다.
사실 저도 구체적으로 저 조건의 필요성에 대해서는 정확히 이야기할 수 없지만 교과서 참고서를 기술한 수많은 수학관련 전문가들의 생각이 옳을거라는 생각이 우선시되고요. 이러한 상황에서 논리적으로 저 본 게시글이 틀리다는걸 아시는 분이라면 수학을 깊게 공부하신 분이라고 생각되는데 눈 앞에서 그릇된 생각으로 다른 수학관련 종사자들을 확신에 찬 채로 비판, 간접적 무시, 매도 하고 있다면 모욕감이 들거란 것이 당연하다는 겁니다.
이에 대해 돋네님이 본 게시자의 다른 좀 더 설득력있는 전문가들을 확신에 찬채로 잘못되었다 하며 간접적 무시 매도하는 태도에 대해 비판하는것으로 보이는데 어디를 봐서 비난한다는것이죠? 상대적으로 교수들에 비해 배우지 못하고 얕은 지식을 가진것은 사실인데 말이죠?

우선 자극적인 제목을 달아 불편함을 느끼게 한 것은 사과드립니다.

비난을 하지 마시고 제 글에 비판을 하세요...
제가 바보인줄 아시는지... 1/X 를 -1~1까지 적분하다니요... 이상적분 형태로 -1~0, 0~1로 구간을 나누어 각 구간이 발산하므로 발산하는 적분이지요.

저를 이상적분도 모르는 비전문가로 몰아가시면서 의도적으로 매도하는 모습이네요. 제가 쓴 글에 대한 직접적인 비판도 못하시면서 인신공격으로 몰아가신다는 생각이 듭니다.

지금 본인도 계속 인정하시고 계십니다. 잘 정의되었는가가 우선이고, 내가 말한 조건들이 다 지켜졌을 때, 저 상태로 충분히 정의가 된다고 본인도 인정하셨습니다. 모든 교과서에서는 저 조건을 제대로 달고 있구요, 근데 몇몇 문제집에서는 전혀 요구되지 않는 조건을 달았고 이 때문에 학원 강사들이 불필요한 내용을 중요하다며 가르치는 모습을 많이 보았기 때문에 글을 올린겁니다.

"교과서에서의 교수학적 변환"에 의한 생략과 왜곡이라구요? 오히려 이상한 용어 쓰시면서 왜곡하시는 분은 본인이신 거 같은데.. 교과서에 제시된 정리에 필요한 조건은 붙고 필요하지 않은 조건은 붙지 않아야 합니다. 님의 말대로라면 해당 조건이 필요함에도 불구하고 이 조건까지 쓰기는 너무하다 싶어서 "교과서에서의 교수학적 변환"에 의해 쓰지 않았다는 것이고, 시중 문제집에서는 "교수학적 변환"을 하지 않았기 때문에 조건을 써 놓았다는 말이 됩니다.

그렇다면 저 상태에서 그 조건이 왜 필요한지 그 이유를 제시하시던가요.. "본인도 방금 저 상태에서 정의가 되긴 합니다" 라고 인정하시지 않았습니까? 이걸 바로 자기모순이라고 하는 겁니다.

글 내용에 대한 제대로 된 비판은 없고 비전공자, 비전문가로 몰며 본인의 글이 자기모순에 빠졌다는 것도 모른체 비난할 생각 뿐인 것으로 보입니다.

"치환할 때, 역함수의 미분계수가 정의되기 위해서는 미분계수가 0이어서는 안된다."
입니다. 물론, 그럼에도 불구하고 글쓴이님께서 말씀하신 조건 + '도함수가 연속'
이라는 조건이 붙으면, 저 상태에서의 적분이 정의되기는 합니다.

이렇게 말씀하셨는데, 치환할 때 역함수의 미분계수가 0이어서는 안된다는 것과 "g의 역함수가 존재해야 한다" 라는 조건이 도대체 무슨 상관이 있는지 말씀좀 해 보시죠..?

g의 역함수가 존재한다는 조건이 붙으면 역함수의 미분계수가 0이 될 수 없게 되는건가요?

수학적인 논의를 한 부분은 여기밖에 없고 나머지는 비난과 인신공격인데 이 부분조차 말도 안되는 내용이네요

그리고 제가 말한 조건에 도함수가 연속이라는 조건이 붙으면 저렇게 정의되긴 합니다라고 하셨는데, 도함수가 연속이라는 조건이 붙더라도 위의 문제는 해결되지 않습니다.

결국 그쪽은 "g의 역함수가 존재해야 한다"라는 조건이 필요한 이유를 단 하나도 대지 못하고 무관한 말만 늘어놓고 계시네요.

본인이 쓰신 글이 타당한지 다시 한번 읽어보시길. 수학적 근거는 부실하면서 인신공격만 가득하네요.

저 말은 원함수의 미분계수가 0이 아니어야 역함수가 미분 가능하다는 말인 듯 y=x^3 의 역함수의 x=0에서 미분계수가 존재하지 않듯이

그 말을 이해 못한게 아닌데요...
제 말은 그것과 제 글이 무슨 관계인지를 묻는겁니다.

g의 역함수가 존재한다는 조건이 달리면 미분계수가 0이 아니게 되는 건가요?

결국에 '돋네' 님은 저 주장을 통해 "G의 역함수가 존재한다"라는 조건의 필요성을 주장하시는 건데 확인해보면 알 수 있듯이 "G의 역함수가 존재한다" 라는 조건과 "g의 미분계수가 0이 아니다" 라는 것은 아무런 관계도 없습니다. 필요조건도, 충분조건도 아니죠.

돋네님 어디로 사라지심?
http://orbi.kr/00011613927
제 글에 답변좀 해봐요 ㅋㅋ

음.. 모르겠다..쿰척(지나가던 현역)

이녀석은 혼...혼모노다

니..님 닉이 더

오류라는 표현은 조금 그런데;; 글쓴이분 죄송한데 수학과 학부 전공생이신가용?

??뭔소리래;;ㅋㅋㅋㅋ

제가알기로 y=f(x)라는 양함수로 표현하기위해서는 두개를 매개변수로 나타냈을때 그게 일대일대응이어야지 그래야하는걸로 알고있엇는데 그것때문 아닌가요?? cosx sinx 를 f(x) 라고 두진않잖아요
(미천한 재수생이 잘못알고있을수도있습니다)

오류인지 아닌지는 책마다 서술을 직접봐야 알 수 있을 것 같습니다.
"g(x)가 일대일대응인 함수일 때 저 등식이 성립한다."는 수준으로만 쓴 거면, 불필요한 조건을 준 것일 뿐 오류는 아닙니다.
그러나, "저 등식이 성립하기 위해서는 g(x)가 일대일대응이어야 한다."라고 쓴 거면, 단 1개의 반례만 찾아도 오류가 됩니다.

이 글만 읽어서는 어느쪽인지 알기가 어렵네요.

잘 배워갑니다.

수식을 못 써서 답답하네요.
저는 치환적분에서 일대일대응 조건이 필요 없다고 봅니다. 여러 예시를 떠올려 봤지만 딱히 그 조건이 필요하다고 못 느낍니다. 아마 삼각 치환할 때 적분 구간을 어떻게 잡느냐에 따라 적분 값이 달라지는 경우가 있다고 주장 하는 사람들 때문에 그런 말이 생긴 거 같습니다. 그런데 그런 주장을 하는 사람들이 제시해 놓은 예시를 자세히 들여다보면 식을 전개해 나가는 과정에 오류가 있거나 절댓값을 붙이지 않아서 생기는 문제더라고요.

수학과물리와예술님 말씀대로 삼각치환하는 경우에도 g(α)=a, g(β)=b의 조건만 만족한다면 범위를 어떻게 잡던 아무 문제가 안됩니다.

교과서에도 해당 조건 없이 증명이 되어 있는데 교과서 내용을 올릴걸 그랬네요.

돋네님 왜 안나타나시는지? 비방과 인신공격을 하실거면 수학적인 내용이라도 있어야 되는데
말도 안되는 궤변을 대학교 과정인양 가지고와 놓고 제 글에는 답변을 안하시네요 ㅋㅋ

혹시 이 댓글 보시면 http://orbi.kr/00011613927 여기로 와서 반박해 보시길.
말도 안되서 더 얘기할 가치조차 없어보이지만

(참고로 밤에 오시면 내일 답변드립니다. 밤에는 과제를 해야 되거든요,)

논란은 글쓴이가 조장해놓고 뭐하러 대학교 과정을 끌고오냐, 라고 하신다면 할 말이 없습니다. 그저 아직 덜 배우고 토론의 준비가 되지 않은 가여운 학생정도로 밖에는 보이질 않네요. 물론 글쓴이께서 그러질 않았으니, 그렇게 매도하는 것은 아닙니다. 다만 윗댓글을 작성한 분같은 생각은 위험한 생각이 아닌가 싶네요.
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웃기는 분이네 ㅋㅋ 하지도 않은 말 가지고 욕을 하고 있음
전공자가 이정도 수준인게 더 가여운데요 ㅋㅋ
대학교에서 수학 배우신거 맞음?
본인은 대학교 과정을 끌고온게 아니라 본인 뇌의 궤변과 망상을 끌고오고 계시다는걸 자각하시길.

일대일 대응이 아니어도 전혀 상관 없음.
근데 일대일 대응이어야 한다고 알고 있는 학생이 더 없을 듯?? 근데 일대일 대응이 아닐 때 구간을 찢어놓고 보면 일대일 대응이 되는 상황을 만날 수 있죠. 아마 그러한 포괄적인 서술을 하려고 했었나 봄. 오류라는 표현은 남발하지 않는 것이 좋을 것 같네요. 그 책을 보진 않았지만 표현이 일대일 대응이어야만 다음이 성립한다는 것인가요 아니면 일대일 대응인 함수는 다음이 성립한다는 것인가요?

수학의 바이블, 숨마쿰 라우데 교재에 "g는 1:1 대응 함수여야 한다" 라고 적혀있습니다.

서울대 수학박사 출신 강사님도 이 조건이 필요없음을 인정했구요.

저는 학원 강사나 학교 교사들한태 몇번 들은 오개념이었는데요... 제가 수업을 많이 들어봐서 그런가?

참고로 돋네 님의 말은 말같지도 않은 궤변에 불가합니다.

교과서는 아니군요 전 교과서 말고는 자습서를 보지 않아서... 아마 학원 강의 부분은 지역 차이인 듯 싶네요. 제가 대치동 있어본 결과 강사분들 개념 상당히 튼튼합니다ㅎㅎㅎ 강의는 아마 제가 몇 배는 더 들어보고 강의하고 했을 것 같네요 하지만 이 쪽 에서는 일댈함수여야 한다고 가르치는 분은 못 본듯?

교과서는 아니군요 전 교과서 말고는 자습서를 보지 않아서... 아마 학원 강의 부분은 지역 차이인 듯 싶네요. 제가 대치동 있어본 결과 강사분들 개념 상당히 튼튼합니다ㅎㅎㅎ 강의는 아마 제가 몇 배는 더 들어보고 강의하고 했을 것 같네요 하지만 이 쪽 에서는 일댈함수여야 한다고 가르치는 분은 못 본듯?

오류비라 3개나 달림 ㅈㅅ

많이 들었든지 안들었든지 간에 수학의 바이블이나 숨마쿰라우데에 적힌 내용 때문에 잘못 가르치는 강사들을 상당수 보았기 때문에 글을 올려 보았습니다.

대치동 강사분들은 안 그런 것처럼 얘기하시는데 대치동 현강에서도 그 내용을 가르친적이 있습니다만...

교과서에는 저 조건 없이 증명되어 있기 때문에 그것을 근거로 올린겁니다.

아무튼 돋네 님은 말도 안되는 똥글 올리셔놓고 안들어오시네요
대체로 제대로 된 비판을 하는 분들은 논리적인 설명이 주가 되는데, 할 말이 없으면 말도 안되는 수학적 내용 조금 대놓고 인신공격과 비난만 가득한 듯 합니다.

숨마쿵이랑 수학의 바이블 책 사진 찍어서 명확하게 문제 제기를 할 걸 그랬음

수능 출제에 기준이 되는 교과서에 어떻게 적혀 있는지가 중요할 것 같습니다. 그 부분을 같이 올리지 않고 오류라는 표현을 사용하신 것은 잘못된 것이 아닐까 하는 생각이 듭니다.

만약 교과서에서도 저 조건을 포함해서 치환적분을 디파인 하고 있다면 저 조건이 사족인지 아닌지는 중요하지 않다는 생각이 듭니다. 그냥 고교 과정에서는 역함수가 존재하는 경우에만 치환적분이 가능한 것으로 약속된 것일 뿐이니까요. 만약 교과서에도 포함하게 적혀 있다면 그 약속에 태클을 거는 것은 잘못된 행위라고 생각합니다.

이러한 주장에 대하여 사족을 다는 것도 일종의 오류이며 엄밀성을 논하는 것이 중요하다고 반론할 수도 있겠지만, 만약 그렇다면 표본집단의 모집단 근사 조건으로 표본의 크기를 30 이상으로 약속하고 있는 고교과정의 통계는 근본부터 잘못된 것이 아닌가 하는 생각이 드네요. 대학과정에서 보면 표본의 수가 600 가까이 가도 근사한다고 보기엔 택도 없는 경우가 허다하니까 말입니다.

본문 중간에 적혀 있는 것을 조금 늦게 확인 했습니다. 오류가 맞네요.

둇네 님은 글 올린지 이틀째인데 아직도 안들어오네요

*종이접기 피카츄*
1.노란색 정사각형 모양의 종이를 준비한다.(포스트잇을 사용해도 된다.)

2.종이의 중앙 1/16정도의 면적에 피카츄의 얼굴을 그린다.



3.마주보는 두 모서리가 만나도록 접었다 편 후, 마주보는 두 변이 만나도록 또 접었다 편다.

4.접었다 편 모양을 따라 피라미드접기 한다.

5.피라미드접기로 만들어진 직각이등변삼각형의 양 모서리를 직각모서리와 만나도록 접는다. 반대쪽도 똑같이 한다.

6.5번에서 만들어진 마름모(=정사각형)의 중앙선을 포함하지 않는 양 모서리를 중앙선에 맞추어 접는다.

7. 중앙선을 포함하는 모서리 중 두개로 갈라진 모서리를 중앙점에 맞추어 접는다.

8. 접은 모서리의 끝부분 1/3을 검정색으로 칠한다.

9.풍선을 불듯 부풀린다.

10.피카츄 완성 ><
사진첨부

글에서, 교과서에서는 일대일 대응이라는 조건을 사용하지 않고 증명하셨다고 하셨는데,
비상교육 미적분2 교과서 144페이지에 보면 '함수 x=g(t)는 주어진 구간에서 일대일 대응이고
미분가능해야 한다' 라고 적혀있어요.
글에서 설명하신 내용대로 했을 때 굳이 일대일대응일 필요가 없는건 이해했는데 교과서에서 이렇게 기술한 이유가 궁금해요