이 문제의 풀이를 공모합니다.
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이 문제가 쉽게 풀리는 문제인지, 풀린다면 어떤 풀이로 풀 수 있는지 궁금해서 한 번 올려봅니다. 오르비 여러분들의 풀이를 기대해봅니다.
[문제] 꼽등이가 수직선 상의 x = 0 지점에 놓여있다. 매 초가 지날 때마다 꼽등이는 왼쪽 혹은 오른쪽으로 한 칸씩 무작위로 뛰는데, 왼쪽으로 한 칸 이동할 확률과 오른쪽으로 한 칸 이동할 확률은 모두 1/2 로 같다. 한편, x = 1 지점에는 무저갱이 놓여 있어서, 꼽등이가 x = 1 지점에 도달하는 순간 무저갱으로 빨려들어가며, 그 후부터 꼽등이는 계속 x = 1 에 위치하게 된다.
꼽등이가 원점에서 막 출발하는 순간으로부터 2011초 후의 꼽등이의 위치를 X라고 할 때, X의 기대값은?
p.s. 어려우면 t = 3 인 경우를 도전해보세요.
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기댓값만을 구하는 것이면 당연히 E(X) = 0 이 됩니다.
참고로, 2011초 후에 X = 1 일 확률을 구하려면, 카탈란 수를 응용하면 되는데 Cn = (1/n)×((2n-2) combination (n-1)) 이라 할 때,
P(X = 1) = C1×(1/2) + C2×(1/2)^3 + C3×(1/2)^5 + ... + C1006×(1/2)^2011 이 됩니다.
무한합을 구하는 경우는 카탈란 수의 생성함수를 이용하면 되는데, 유한합이라 계산하기는 어려울 듯 합니다.
E(X) = 0 이라는 것은 직관적으로 당연한데, 수식으로 풀려면 다음과 같이 됩니다.
t 초 후의 X 의 위치값을 확률변수 Xt 라고 하면,
E(X2011) = 1 × P(X2010 = 1) + [ 0.5 × { E(X2010 | X2010 < 1) + 1 } + 0.5 × { E(X2010 | X2010 < 1) - 1 } ] × P(X2010 < 1)
= E(X2010 | X2010 = 1) × P(X2010 = 1) + E(X2010 | X2010 < 1) × P(X2010 < 1)
= E(X2010)
이므로, E(X2011) = E(X2010) = E(X2009) = ... = E(X1) = 0.
오오... 저는 막 확률론을 배우는 단계라서 직관이 부족한지, 사실 E(X) = 0 인 것이 생각보다 와닿지를 않더군요.
제가 공부하는 책에서는 stopping time을 생각하고 이와 연관된 martingale transform을 생각해서 풀었는데, 좀 초등적인 풀이가 있나 했더니 심플하게 조건부 기대값으로 끝낼 수 있군요. =.=;; 이럴수가...
아, 참고로 martingale과 생성함수를 잘 엮으면 P(T = 2m-1) = (-1)^(m+1) (1/2)Cm 임을 보일 수 있습니다.
곱등이는 무저갱에 빨려들어가야 제맛