[4] 공부의 전체적 흐름과 순서

 그러면 여기서 ‘물체는 땅으로 떨어진다’라는 게 ‘~가 밑으로 떨어진다’라는 개념 혹은 사고과정이 녹아있는 하나의 공식이 될 수 있겠죠. 따라서 언제나 공식을 볼 때는 공식 그 자체나 그 표현방식이 중요한 것이 아니라 공식에 들어있는 사고과정과 개념이 중요한 겁니다. 예컨대 공식에서 ‘물체가 땅으로 떨어진다’라고 표현했다고 ‘물체가 바닥으로 떨어진다’라는 말이 틀린 건 아니잖아요. ‘땅’이란 건 물체 밑에 있는 모든 무언가 들을 대표해서 땅이라고 쓴 것뿐이지 ‘땅’이라는 단어 그 자체가 중요한 것이 아니지 않습니까?

공식과 개념을 외우지 말고 이해하란 건 이런 말입니다. 공식을 외워서 공부를 하게 되면 그 표현방식에 현혹되기도 쉽고, 살짝만 응용을 해도 문제를 풀 수가 없어요. 학습상담을 하다 보면 가장 답답하고 안타까운 질문이 이런 거예요. ‘저는 기본개념은 알고 있는데, 응용을 못 하겠어요.’ 하지만 기본개념을 알고 있는데 응용을 못 할 수는 없어요. 그건 기본개념을 알고 있는 게 아니라 공식을 적당히 외우고 그 느낌만 알고 있으면서 기본개념을 알고 있다고 착각하는 겁니다. 물론 가끔 응용하는 방식이 지나치게 기교적이고 복잡해서 개념이해보다 응용스킬이 돋보이는 문제도 있지만, 수능관점에서 그런 문제는 그다지 좋은 문제가 아니기에 그다지 신경 쓸 필요가 없습니다. 

 앞에서 얘기한 ‘공식을 암기하며 공부한다는 것’이 구체적으로 어떤 이야기인지 예를 들어서 설명으로 해볼게요.

 교과서에서 ‘물체가 땅으로 떨어진다’라는 공식이 제시되어있다고 합니다. 그러면 일단 공식을 외워요. ‘물체가 땅으로 떨어진다’,‘물체가 땅으로 떨어진다’,‘물체가 땅으로 떨어진다’,‘물체가 땅으로 떨어진다’,‘물체가 땅으로 떨어진다’,‘물체가 땅으로 떨어진다’. 그리고 ‘개념 확인하기’ 같은 문제로 이런 문제들이 나올 겁니다. 

‘장난감은 땅으로 떨어집니까?’

‘사과는 땅으로 떨어집니까?’

‘핸드폰은 땅으로 떨어집니까?’ 

 이런 문제는 공식을 외우고 그 느낌만 적당히 알고 있어도, 특정 위치의 단어만 다른 걸로 바꾼 문제라 ‘예’라고 손쉽게 대답을 하며 풀 수가 있죠. 그러고는 착각을 하는 겁니다. ‘아, 나는 공식도 외웠고 개념 확인하기 문제도 풀 수 있으니 기본개념은 알고 있구나.’

 하지만 이건 틀린 생각이죠. 이런 식으로 공부를 했다간 조금만 응용을 해도 풀 수가 없어요. 한 3점짜리 응용문제라고 해봐야 이런 정도입니다. 

 ‘피카츄 2마리가 학교 운동장에서 배구를 하고 있습니다. 

피카츄1이 피카츄2에게 서브를 했는데 피카츄2가 서브를 받지 못 했습니다. 

그러면 공은 어떻게 될까요?’

 이게 객관식 문제로 나왔다면 ‘공이 학교 운동장 바닥으로 떨어진다’랑 비슷한 걸 고르면 될 겁니다. 개념을 이해하고 있다면, 이건 표현을 살짝 현란하게 했을 뿐 기본개념의 ‘~가 떨어진다’라는 사고과정을 이용하는, 결국 같은 걸 묻고 있는 문제이기에 아주 간단히 풀 수 있는 문제이죠. 하지만 공식의 의미도 모른채 공식을 마냥 외웠다면 이런 문제를 보면 ‘학교 운동장은 갑자기 왜 나오고 공놀이는 왜 나와? 뭘 물으려는 건지 모르겠네.’ 하면서 혼란스러워진다는 겁니다. 뭐 운이 좋다면 공식에서 대충 ‘떨어진다’라는 말이 있었으니까 감으로 비슷한 선택지를 골라 찍어서 맞출 수도 있겠지만, 그런 식으로 개념을 제대로 이해하지 않고 찍듯이 문제를 풀고 나중에 답을 외우는 식으로 해서는 조금만 표현을 달리해도 또 헷갈리고 또 혼란스럽다는 겁니다. 

 ‘물체가 땅으로 떨어진다’와 같이 쉬운 공식을 예로 드니까, 암기식으로 공부하는 것이 터무니없고 누가 저런 식으로 공부를 할까 싶죠? 하지만 기본개념 하고 있을 시간이 없다고, 바쁘다고 하면서 이런 식으로 공부하는 학생들이 얼마나 많은지 모릅니다. 참으로 답답한 일이고, 또 개인만의 문제가 아니기에 정말 안타까운 일이 아닐 수가 없어요 ㅠㅠㅠ 또 학교나 학원에서 수학을 가르치며 수학공식은 암기하는 거라고 가르치는 경우도 있다고 들었는데, 가끔 그런 얘기를 들으면 우리나라 수학교육의 밝은 내일에 가슴이 뛰고 막...^^

 여담으로 이와 비슷하게 그 내용보다 형식에 더 관심을 가지는 현상이 공부방법이나 자세에서도 나타납니다. 어떤 교재를 쓴다, 어떤 인강을 듣는다 이런 형식적인 것에 다들 너무 신경을 씁니다. 무슨 인강을 듣느냐, 몇시간을 책상에 붙어있느냐 깨어있느냐, 문제를 몇 개나 풀었느냐가 중요한 게 아니에요. 시험에 필요한 공부가 얼마나 머릿속으로 들어오고 연습이 되었느냐가 중요한 겁니다. 공식을 외워도 그 내용을 모르면 의미가 없는 것처럼, 전교1등인 친구가 다닌다는 학원을 따라 다녀봤자 정작 그 수업내용을 흡수하지 못 하면 의미가 없습니다. 

 아무튼 이런 식으로 문제에서 묻는 것은 공식 그 자체가 아닌 그 공식에 녹아있는 사고과정입니다. 따라서 문제를 푸는 것은 공식을 대입하는 요령을 연습하는 것이 아니라, 공식에 녹아있는 사고과정을 연습하는 것이에요. 그리고 그런 사고과정을 묻는 방식, 그 표현방식은 여러 가지가 있을 수 있겠죠. 예를 들어 앞에서는 를 물었지만, 를 물을 수도 있겠죠? 이런 표현방식들이 소위 말하는 문제유형입니다. 

 유형이 달라져도 기본개념을 온전히 이해하고 있으면 풀 수 있다는 것도 이런 맥락의 이야기입니다. 또 다양한 유형의 문제를 접하고 풀어야 하는 이유는, 다양한 표현방식들을 접함으로써 다양한 유형을 연습을 통해 익숙하게 만들어 다음번에 비슷한 유형이 나왔을 때 좀 더 빠르고 손쉽게 풀기 위함이지, 각 유형의 풀이들을 암기하기 위함이 아니에요. 따라서 다양한 문제를 푸는 것보다 문제를 풀면서 개념의 사고과정 연습이 제대로 될 수 있게끔, 또 문제의 풀이를 암기하지 않고 이해하며 넘어갈 수 있게끔 개념을 올바르게 이해하는 것이 우선입니다. 거듭 얘기하지만 문제를 푼다는 그 행위 자체가 중요한 것이 아닙니다.

 개념을 이해하는 것이 중요하듯이 풀이 역시 이해하는 것이 중요합니다. 문제를 풀면서 조금만 막히면 답지를 보고, 또 답지를 보면서도 ‘이런 유형의 문제는 이런 느낌으로 풀더라’ 암기만 해서는, 문제를 몇 백개를 풀어도 감각으로 대충대충 이미 한번 봤던 풀이를 흉내내기만 할뿐, 정말 자기 내부의 고민에서 나온 풀이로 문제를 풀 수가 없어요. 그러면 조금만 다른 유형의 문제가 나오면 문제를 풀 수가 없게 되죠. 문제를 풀다가 막히면 답을 볼 것이 아니라 개념을 보고 스스로 문제를 풀려고 노력해야해요.

 예를 들면 이런 이야기에요. ‘배가 고프면 밥을 먹는다’라는 공식이 있다고 해봅시다. 뭐 꼭 밥을 배가 고파야만 먹는건 아니지만 ㅎㅎ 아무튼 이 공식을 응용한 4점짜리 고난이도 응용문제가 있다면 이런 게 있을 수 있겠네요.

‘피카츄가 어제 아침부터 오늘 저녁까지 굶었습니다. 그럼 피카츄가 뭘 해야 할까요?’

 답은 뻔하죠? 어제 아침부터 오늘 저녁까지 굶었으면 배가 고플테니 밥을 먹어야겠죠? ‘배가 고프다’는 것이 어떤 것인지 잘 이해하고 있다면 ‘어제 아침부터 오늘 저녁까지 굶었다’는 ‘배가 고프다’를 조금 더 복잡하게 표현한 것일 뿐 같은 내용이란 것을 알 수 있습니다. 사실 대부분의 어려운 문제란 것이 기본개념을 표현을 조금 더 현란하게 해서 묻는 정도입니다. 따라서 개념에 대해 명확히 알고 있으면 고난이도 문제의 표현방식의 현란함에 현혹되어서 헷갈리지 않고 문제를 풀 수가 있어요.

 하지만 이 문제의 풀이를 ‘어제 아침부터 오늘 저녁까지 굶었다 → 배가고프다 → 밥을 먹는다’, ‘어제 아침부터 오늘 저녁까지 굶었다 → 배가고프다 → 밥을 먹는다’, 이렇게 외웠다고 생각해보세요. 그러면

‘피카츄가 그저께 점심부터 오늘 점심까지 굶었습니다. 그럼 피카츄가 뭘 해야 할까요?’

와 같이 원리지만 표현만 조금 바꾼 똑같은 문제를 풀 수가 없는 겁니다. ‘는 외웠는데 여기는 또 왜 야?’하면서 말이죠. 하지만 앞 문제에서 ‘어제 아침부터 오늘 저녁까지 굶었기 때문에 배가 고프다’는 풀이과정에 대해 제대로 이해했다면 두 번째 문제도 손쉽게 풀 수 있겠죠? 그리고 풀이의 이 사고과정, 어제 아침부터 오늘 저녁까지 굶으면 배가 고프다를 이해할 수 있으려면 - 즉 오랜 시간동안 굶는 것과 배가 고픈 것을 연결시킬 수 있으려면 - 공식에 나왔던 기본 개념인 ‘배가 고프다’는 것의 속성에 대해서도 이해를 하고 있어야 합니다. 따라서 문제를 풀 때는 여러 문제를 대충 풀이를 외우듯이 풀기보다도, 한 문제를 풀더라도 그 풀이를 온전히 이해하면서 문제를 흡수하며 풀어야 하고요, 풀이를 이해하기 위해서는 그 문제에서 사용된 개념에 대한 이해가 전제되어야 합니다. 따라서 ‘다른 애들이 응용문제 풀고 있어서 저는 도저히 불안해서 기본개념이나 잡고 있을 수가 없어요’라는 말은 앞뒤가 맞지 않는 말이죠. 응용문제를 제대로 풀고, 또 문제를 통해 배우는 것이 있으려면 기본개념에 대해 제대로 이해하고 있어야 합니다.

개념에 대해 제대로 이해하고 있으면, 개념으로부터 여러 유형의 풀이를 유도해낼 수 있다

개념에 대해 이해하지 못하면, 개별 유형들을 다 암기해야 한다

 여담으로 이와 비슷한 맥락의 다른 이야기를 하면, 연계교재 풀이와 기출문제 풀이를 통한 실력키우기 중 어느것을 우선순위로 두어야 하는가에 대해 고민하는 경우가 많습니다. 물론 연계율이란 것이 존재하기 때문에 연계교재를 푸는 것도 의미를 가지기는 합니다. 하지만 그전에 더 중요한 것은 실력을 키우는 것이에요. 연계교재에 집착하는 건 달리기 경주를 하는데 달리기 연습은 안 하고, 공기저항을 줄이겠다고 머리털만 밀고 있는 거나 비슷한 겁니다. 물론 국어랑 영어의 경우 지문이 익숙한 것에서 오는 유리함은 머리털을 미는 것보다는 더 큰 효과가 있겠지만, 내공과 실력을 키우는 것이 우선인 것은 어느 과목이나 다르지 않습니다. 수능은 암기력을 테스트하는 시험이 아니거든요.

* 공부의 흐름을 개념서나 문제지의 구성을 통해 정리해보면

 공부의 구성과 단계가 실제로 교과서나 개념서 같은 것의 구성에서도 나타남을 확인해보며 앞의 내용을 다시 간단히 정리해보겠습니다. 교과서와 같은 개념서나, 쎈 같은 문제지를 떠올려 봅시다. 떠올려 보기 힘들면 직접 자기가 가지고 있는 개념서나 문제지를 하나 꺼내보세요.

 일단 맨 처음에는 개념을 소개하고 있습니다. 개념서에는 개념에 대한 자세한 설명과 그 개념을 익숙하게 하기 위한 아주 간단한 기본문제들이 ‘개념 확인문제’같은 이름으로 몇 개 딸려 있죠. 쎈과 같은 문제지의 경우, ‘문제’지이기 때문에 개념은 간단히 공식을 정리해놓은 정도로만 있고, 공식에 거의 숫자만 대입하는 식의 기본적인 문제인 A스텝 문제가 있습니다. 모의고사나 수능으로 치면 2점짜리 문제라고 할 수 있겠네요.

 그 다음에는 앞에서 소개했던, 개념을 활용한 상투적인 유형의 문제가 나옵니다. 일반적으로 개념서에서는 바로 문제를 풀게 시키기보다는, 유제나 예제로 연습할 문제의 풀이를 제시해줍니다. 그 풀이를 이해하고, 이해한 내용을 토대로 직접 문제를 풀어봄으로써 연습을 해보라는 의미이죠. 그리고 앞에서 배웠던 개념이 이런 식으로 응용될 수 있다는 그 예시들을 보여주는 겁니다. 개념을 안다 해도 바로 활용을 하기는 힘들 수 있으니까 이런 식으로 풀이를 예시로 보려주는 것이죠, 교과서나 개념서들은 이렇게 친절합니다 ㅎㅎㅎ 아무튼 이런 식으로 개념을 활용해서 나오는 문제들 중 대표적인 유형 몇 가지를 연습을 시킵니다. 

문제 위주의 문제지는 바로 문제들만 있죠. 쎈의 B스텝을 보면 그렇습니다. 하지만 개념을 간단하게 응용한 여러 가지 유형을 연습시킨다는 단계란 것은 동일합니다. 모의고사나 수능으로 치면 3점짜리 문제가 이런 느낌이라고 할 수 있겠네요. 따라서 개념을 충분히 이해하고, 개념서나 문제지에서 제시하는 상투적인 유형의 문제들을 풀이를 이해하며 충분히 연습이 되었다면 엔간한 3점짜리 문제는 다 풀 수가 있습니다.

 그 다음에는 기존에 제시했던 유형을 합치거나, 표현을 조금 더 현란하게 하거나, 다른 단원 개념이 합쳐지거나 한 고난이도 응용문제가 등장합니다. 개념서에서는 보통 ‘연습문제’라는 이름으로 등장하고요, 각 문제지마다 이름은 다르겠지만 이런 단계의 문제가 보통 존재를 해요. 쎈의 경우 C스텝이겠죠. 수능의 4점짜리 문제와 대응된다고 할 수도 있겠는데, 어떤 문제지들은 이런 단계의 문제에서 필요이상의 난이도의 문제를 내거나, 수능과 개념을 묻는 방식에서 차이를 보이는 경우도 있어서 꼭 완벽히 대응된다고 할 수는 없겠네요. 따라서 문제지에 따라 이쪽 단계의 문제를 푸는 것이 큰 의미가 없는 경우가 있습니다. 

 또한 상위권의 변별력은 고난이도 응용문제에서 나뉜다는 얘기 때문에, 어려운 문제 연습하는 것에 대해 강박관념을 가지고 어려운 문제부터 풀려고 하는 경우가 있는데, 이 칼럼을 꼼꼼히 읽으셨다면 대충 아시겠지만 개념이 제대로 안 잡히거나 상투적인 유형에 대한 연습이 없는 상태에서 푸는 고난이도 응용문제는 푸는 의미가 그다지 없습니다. 어차피 풀어봤자 제대로 흡수를 못 하니까요. 뭐 ‘대충 어려운 문제란 게 이런거군.’하고 감을 잡을 수는 있겠지만, 개념을 충분히 이해하고 상투적인 유형들이 익숙해질 때까지 반복을 통해 연습하는 것이 우선입니다. 농구로 간단한 예시를 들면 드리블이 익숙해지고 걷는 게 익숙해야 걸으면서 드리블을 할 수 있겠죠.

전체적 흐름을 표로 정리해본다면 이런 느낌이겠네요.

이 %란게 시험의 난이도 따라 애매하기 때문에 등급으로 말씀을 드리면, 이런 느낌으로 상투적인 유형에 대한 연습만 제대로 되어도 3등급 정도는 나올 수 있어요. 따라서 3등급 이하이신 분들은 괜히 어려운 문제 푼다고 힘들어하면서 자신감 잃지 마시고요 ㅠㅠ 기본개념이해에 주력하고 상투적인 유형에 대한 연습을 더 탄탄히 하시길 바라요. 그리고 이런 식의 느낌이 과목마다 비율은 조금씩 다르지만 비슷비슷합니다.

* 개념을 이해한다는 것은 초반에서 모두 끝나는 것이 아니다

 위의 내용을 읽어보면 어느 정도 감이 잡히지만, 개념 공부가 초반에 이루어지는 과정이라고 해서 개념 이해가 초반에 다 끝나는 것이 아닙니다. 위에서는 문제를 푸는 것이 마치 개념을 연습하기 위한것 뿐인양 얘기를 했지만, 사실 문제를 푸는 것은 내가 개념의 어떤 부분의 이해가 미숙한가 확인해보는 의미도 있어요. 따라서 개념이란 것은 문제를 풀며 미숙한 부분이 보이면 그때 그때 개념으로 돌아가서 조금씩 보강해나가며 점점 채워나가야 합니다. 

 사실 개념이란 것의 범위를 어디까지 두어야 하는가도 꽤 애매한 부분이에요. 개념을 활용하는 것까지 개념이라고 할 수도 있겠죠. 이런 맥락으로 얘기하면 개념을 익히는 것이 공부의 전부라고 할 수도 있겠네요. 아무튼 개념을 익힌다는 것은 공부에 있어서 가장 중요하면서도 어려운 겁니다. 가장 머리를 많이 굴리고 고민을 해야 하는 부분이고요, 사실 개념이 제대로 됐다면 문제를 풀고 연습하는 건 생각없이 기계적으로 반복만하면 된다고 까지 말할 수도 있어요. 또 문제처럼 정답 오답이 있는 것도 아니라서 어느 정도가 개념을 이해했다고 할 수 있을지 그 기준도 애매합니다. 또 그 기준이란 것은 사람마다 다르죠. 개념이해에 대한 자세한 얘기는 다음 칼럼에서 하도록 하겠습니다.

* 안정적인 1등급/만점을 바란다면 오답풀이를

 말은 ‘1등급/만점’이라고 해놓기는 했지만, 사실 오답풀이는 상위권 하위권 할 것 없이 자기 자신의 부족한 점을 발견하고 보강하는 아주 좋은 방법입니다. 따라서 자신의 실력이 어떻든 하면 효율적이긴 해요. 하지만 개인적으로 꼭해야 한다고 강박관념을 가질만한 것은 아니라고 생각합니다. 오답풀이 역시 다른 칼럼에서 자세히 다루겠지만 여기서 그 의의만 간단히 설명을 해볼게요.

문제를 풀다보면 달리면서 풀기 쉽습니다, 특히 모의고사나 학교 시험 같은 경우는 시간에 쫓기며 풀기 때문에 더더욱 그렇죠. 그래서 문제를 틀리고 나서도 내가 뭐가 부족해서 문제가 틀렸는지, 어떤 부분의 개념이 부족한지, 또는 이 문제의 풀이가 어떻게 구성되고 왜 이렇게 풀어야 하는지를 모르고 넘어가는 경우가 많아요. 그런 경우는 문제를 풀고 나서 시간적 여유를 두고 문제를 분석해보면서, 문제의 풀이가 어떤 방식으로 이루어지는지와 개념이 어떤 식으로 활용되었나 등을 고민해보면 좋습니다. 또 이를 토대로 자신이 어떤 것이 부족하고, 어떤 유형에서 자주 헷갈리는지 등을 파악하고, 그 군더더기 없는 최적화된 풀이를 정리해보는 시간을 가지면 좋아요. 

 또 오답풀이 노트를 만들어 정리해놓으면 시험이 다가올 때 처음부터 끝까지 다 보기는 너무 방대하고 막막한데, 단시간에 자신이 부족한 부분만 효율적으로 복습을 하기 편하겠죠. 예컨대 수능 전날에 교과서 전체를 통으로 보고 있을 수는 없잖아요 ㅎㅎㅎ

 제가 굳이 제목을 저렇게 붙여놓은 이유는, 문제에 대한 지나친 철저한 분석이나 풀이에 대한 지나친 분석은 속도감을 떨어뜨려서 공부의 흥미를 잃게 할 수도 있어서 선택하기 나름이라는 느낌을 주고 싶어서 한 거였어요. 개념을 충분히 이해하고 문제를 푼다면, 헷갈리는 문제가 있더라도 나중에 답지의 풀이를 보면서 ‘아~ 이렇게 푸는 거구나.’하고 어느 정도 머릿속에서 저절로 그 유형의 일반적인 풀이에 대해 정리가 되고, 또 자신이 부족했던 부분이 파악되고 보강될 수 있어요. 굳이 귀찮게 오답풀이 노트 만들고 하지 않더라도요. 인간은 뛰어난 학습자이기 때문에 굳이 의식적으로 언어로 정리된 지식을 머리에 쑤셔 넣지 않아도 알아서 배우고 있는 것이 참 많습니다. 저의 경우 오답풀이를 맨 처음 했던게 고3때네요. 

오답풀이까지 포함해서 공부의 전체 흐름을 도식으로 표현해보면 아래와 같겠어요.

이번 칼럼은 여기까지이고요,

다음 공부법 칼럼에서는 개념이해에 대한 자세한 이야기를 다루도록 하겠습니다.

Ps. 긴글 읽어주셔서 감사드립니다, 도움이 되셨길 바랍니다.

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* 다람쥐 쳇바퀴 그림 출처 https://fishpoint.tistory.com/755