사관학교 수리문제 하나만 여쭤볼께요. 제발 내일 시험봐요 ㅠㅠ
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최대공약수가 5!, 최소공배수가 13!이 되는 두 자연수 k, n(k<=n)의 순서쌍 (k,n)의 개수는?
1. 25 2. 27 3. 32 4. 36 5. 49
답은 3...
ㅠㅠ 어떻게 풀어요?
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최대공약수가 5!, 최소공배수가 13!이 되는 두 자연수 k, n(k<=n)의 순서쌍 (k,n)의 개수는?
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최대공약수가 5!이므로 5!은 일단 k랑 n이 둘다 가지고 있으므로 이렇게 쓸 수 있습니다.
k= 5!x a n=5!x b
그런데 최대공약수가 5!이므로 a와 b는 최대공약수가 1입니다. 따라서 최소공배수는 5! ab 가 될 것이고, a와 b는 '1 이외에 공약수를 갖지 않습니다.'
이 말인즉슨 a가 2라는 약수를 가지고 있다면 b는 2를 가지고 있으면 아니된다...는 말이죠.
그리고 최소공배수가 5!ab = 13! 이므로 ab = 6x...x13 = 2^n x 3^m x 5^q x 7^w x 11^r x 13^s 이런식으로 정리가 됩니다.
( 2, 3, 5, 7, 11, 13 의 제곱수들의 곱)
위에 a가 2를 가지면 b는 2를 가지면 안된다고 했죠? 그렇다면 2, 3, 5, 7, 11, 13 을 a b에 분배를 해주면 되는 것입니다.
(2가 a에 들어갈지 b에 들어갈지 2개중 1가지, 3이 a에 들어갈지 b에 들어갈지 2개중 1가지 .........)
따라서 전체 경우의 수는 2의 6제곱인데, a
아 소인수 분해가 키포인트였군요ㅋㅋ 대충 여기까진 짐작했는데 그냥 짝수 홀수로 나눠서 푸니까 답이 안나오지ㅎㅎㅎㅎ 감사감사감사합니다!!