도함수의 연속성
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미분계수와 도함수의 극한이 일치하지 않는다는 명제의 반례는 여러게 존재합니다. 근데 그런 반례들은 (재가 본것들은) 실수전체에서 미분가능하지는 않았습니다. 대표적인예로 x제곱의 sin1/x 이것도 특정점에서는 미분계수가 존재하지 않았습니다.
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아마 님이 예로든 함수는 x^2 sin(1/x) 자체가 아니라
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이 함수는 님이 말씀하신 데로 x=0에서 미분가능하죠. 하지만 도함수는 x=0에서 불연속입니다.
결론은 미분 가능한 함수는 미분계수가 존재하는 것입니다. 이 미분계수는 평균변화율의 극한으로 구합니다.
도함수의 극한이 존재하지 않거나 존재하는데 미분계수와 일치하지 않아도(후자의 경우는 제가 아는 예가 없어서 이런 함수가 있는지 확실하겐 모르겠습니다.)평균변화율의 극한값만 존재하면 그 함수는 미분가능한 함수입니다.
고로 제가 위에 쓴 함수도 전구간 미분가능함수입니다. 도함수는 x=0에서 불연속이지만요.