수학문제 하나만 물어볼게요;(수능완성 실전편 5회 29번)

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타원x^2+4y^2=4의 1사분면위에있는점 P에서 그은접선의 x절편,y절편을 각각 Q,R이라할때

선분 QR의 길이를 l이라 할때 l^2는 P(a,b)에서 최솟값 m 을갖을때

a^2 + b^2 + m =?

이거 결국은 16/a^2 + 1/b^2의 최소를 구하는 거자나요; 여기서 왜 산술기하평균을 쓰면 답이안나오고 답안지 처럼 미분해야 답이나오나요?

둘다 분명히 양수이고 a,b는 사실상 하나의 변수니까 산술기하 평균으로 16/a^2 = 1/b^2 일때 최소이다. 라고 풀면 왜 답이 안나오는 거죠?

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zolitine · 450249 · 14/07/28 14:21 · MS 2013

산술기하 합이나 곱 일정할때 써야됨

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확실하게! · 446663 · 14/07/28 18:58

그게 딱하나로 정해지지 않는경우도 있지 않나요; 산술기하 문제에서

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법선 · 468094 · 14/07/28 15:50 · MS 2013

변수가 존재하면 산술기하평균이 성립은 하지만 최대,최솟값은 구할 수 없어요

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확실하게! · 446663 · 14/07/28 16:18

저 어쨋든간에 저둘이 같을때 최소가되는건 사실 아닌가요?

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두리둥둥이 · 510458 · 14/07/28 16:10 · MS 2017

산술기하평균으로는 16/a^2+1/b^2≥8/ab 까지만 알 수 있고
ab가 일정하지 않기때문에 어떤 상수 이상이라는 것은 모른다는 말씀이시네요.
코시슈바르츠 부등식을 써보시면 어떨까요?

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확실하게! · 446663 · 14/07/28 16:18

저 어쨋든간에 저둘이 같을때 최소가되는건 사실 아닌가요???

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두리둥둥이 · 510458 · 14/07/28 16:36 · MS 2017

아니에요. 그건 마치 9≥8 이므로 9의 최솟값은 8이다 라고 말씀하시는 것과 유사하네요.
16/a^2+1/b^2 가 8/ab 를 최솟값으로 갖는다 ⇔ 6/a^2 = 1/b^2
이건 맞지만 종속적으로 변화하는 a, b에 의해 16/a^2+1/b^2가 8/ab를 최솟값으로 갖지 않을 수도 있습니다.

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확실하게! · 446663 · 14/07/28 18:58

무슨뜻이죠;;; ㅜㅠ

여태까지 항상 합의꼴에서 둘다 양수라는 조건하에 최솟값을 곱으로 구해왔었는데; 이문제는 왜적용이 안되는건지 모르겠어요;

일단은 16/a^2 = 1/b^2 일때 최솟값인 8ab가 되는건 사실이잖아요; 근데 여기서 (a,b)가 타원위의점이란것에서 타원의식에 대입하면 a,b가 모두 구해지지 않나요?

그러니까음... a^2와b^2의 관계식이 정해져있으니까 사실상 a^2를 b^2로 나타낼수 있을테고 결국 b만의 단독식으로 유도 되서 8ab를 갖을수 있는거 아닌가요

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두리둥둥이 · 510458 · 14/07/28 19:49 · MS 2017

음.. 그러니가 최솟값이 머든지간에 분명 어떤 a, b가 존재해서 ab/8 을 최솟값으로 가질 것이고, 그 때의 a, b는 16/a^2 = 1/b^2 를 만족한다.
라는 말씀이시잖아요?

그렇다면 아닙니다+_+....
ab가 일정하지 않기 때문에 최솟값이라는 ab/8 은 커지기도 작아지기도 하지요.
그런데 여기에 a^2+4b^2=4 라는 조건이 붙기때문에 ab/8 은 단 하나로 결정되고, 다른 a, b에서 그 결정된 값보다 작은 값이 나오기 때문에 안돼요.
실제로 산술기하평균에 의해 나온 값보다 더 작은 l^2 값이 존재하잖아요~

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수학상자 · 454953 · 14/07/28 21:04 · MS 2013

이번 평가원 6평 28번 문제에서 사용된 부등식의 논리와 동일한 논리입니다. 부등식으로 표현된다고 해서 해당 변수가 반드시 최솟값을 가지는것을 보장할수는 없습니다. 단지 크거나 같다는 사실만을 지칭할 뿐이죠

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로빌 · 365897 · 14/07/28 22:40 · MS 2019

어떤 절대부등식 또는 일반 부등식에서도 한쪽이 상수가아니라면 그반대쪽의 최대최소를 이야기할수없음

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확실하게! · 446663 · 14/07/29 01:05

무슨뜻이져 ㅠ 아...고1개념에빵꾸가있을줄이야

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로빌 · 365897 · 14/07/29 07:12 · MS 2019

윗분들 말씀대로 이문제에선 산술기하는 성립하되 상수가 아니므로 그 등호성립일때가 최대최소가 아니라는거에요 왜냐면 그 상수가원래오는 식에 변수가왓으므로 그변수가지니는 또다른 최대최소가 잇을수 있고 그 럼 그 최대최소랑 등호성립일때 준식의 원하는값을 얻을수잇는거죠

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확실하게! · 446663 · 14/07/29 18:54

저그렇게 따지면 8/ab 의 최솟값을 구하면 되는건가요?

8/ab가 변하긴 하지만 어쨋듯 8/ab가 a,b를 조합해서 만들수 있는 경우중 최소인것 아닌가요? 근데 8/ab가 되는경우 a,b의값은 하나로 정해지는데;;; 왜이런거죠;

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로빌 · 365897 · 14/07/29 23:17 · MS 2019

그니깐여 에이가 상수보다 작거아깉으면 그상수가 최소죠 근데 식이라면 그 식의 범위가 다시 잇을테고 그럼 그 두부등식이 모두 등호가 성립해야 최소를 구할수 잇어요 더이상은 님몫

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확실하게! · 446663 · 14/07/30 23:18

아니근데 위식이 8/ab가 되는 경우는 딱하나로 정해져있다니깐요;

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로빌 · 365897 · 14/07/31 17:15 · MS 2019

그럼 그렇게 하세요..더이상의 대답은 시간낭비라는 생각이

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zolitine · 450249 · 14/07/31 18:13 · MS 2013

모든상황에서 8/ab가 일정해야됨 님이 말하고 있는건 특정한 a와b에대해서 말하는거아님?

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두리둥둥이 · 510458 · 14/07/31 18:54 · MS 2017

위에 수학상자님 말씀이 정확해요. 크거나 같다는걸 지칭만 할 뿐이지요. 반드시 등호가 성립하는 부분에서 최솟값을 갖는건 아닙니다. 그래서 최솟값을 구하는 문제에서는 8/ab가 일정해야만 하는거구요.
위 식에서 산술기하평균의 등호성립조건을 만족하는 (a,b)는 단하나뿐이겠지요. 1사분면에서 타원과 원점을 지나는 직선의 교점이니까요. 그걸가지고 '정해져있으니까 8/ab가 일정한거 아니냐'고 말씀하셔서는 곤란합니다. 그 점에서 최솟값을 갖지 않아요.
두뇌와 마음을 여시고 위의 댓글들을 여러번 읽어가며 생각해보시는게 좋을것 같습니다.

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