2022학년도 고3 10월 미적분 30번 해설
게시글 주소: https://h.orbi.kr/00061354089
그냥 여담으로 드리는 말씀이지만 평가원 모의고사와 교육청 모의고사는 년도를 세는 기준이 다릅니다.
평가원 모의고사/수능은 대학수학능력을 측정하고자 하는 시험으로, 시험을 치는 년도의 다음 해에 대학에 입학할 학생들을 응시 대상으로 하기에 시행 년도에 1년을 더한 햇수를 표기합니다. 예를 들어 2022년에 시행된 6월/9월/수능은 2023년에 대학에 입학할 학생들의 대학수학능력을 측정하는 시험이기에 2023학년도 6모/9모/수능 이렇게 표기합니다.
이와는 대조적으로 교육청이 주관하는 모의고사 시험들의 경우 정식 명칭이 전국연합학력평가인데, 전국연합학력평가는 '그 해의' 전국의 학생들의 수준을 가늠하기 위한 시험이기에 시행 년도를 그대로 표기합니다. 즉 제가 오늘 올릴 문제는 2022년 10월에 시행된 학력평가 미적분 30번 문제인 것입니다.
다들 알고 계시리라 생각합디다만 의외로 헷갈리기 쉬운 사항이기에 이러한 서론을 적어보았습니다.
---------‐-----------------------------------------------‐-----------------------------------------------‐-----------------------------------------------‐-------------------------------------
30번 문제입니다. 가형 30번과 요즘 미적분 30번을 비교해보면, 상대적으로 문제의 호흡이 상당히 짧아진 대신 핵심적인 요소들을 정확히 파악해야 한다는 점은 비슷합니다.
우선 문제를 읽어보면, (가) 조건을 해석하는 것이 관건으로 보입니다. 간혹 가다가 적분식을 미분할 생각을 하지 못하고 문제를 결국 풀지 못하는 경우가 종종 있는데, 적분식을 포함한 관계식이 주어져 있다면 우선 미분을 해보는 것 역시 굉장히 중요합니다. 이렇게 적분식이 주어져 있을 때 미분을 통해 상황을 파악하는 문제들이 유독 올해 교육청 시험에 많은 편이었습니다. (3월 22번, 4월 22번) 아무튼, 양변을 x에 대해 미분하면...
이러한 관계식이 나옵니다. (G(x)는 g(x)의 부정적분입니다.) 여기서 양변을 미분하였을 때 오른쪽 항이 -g(3a-x)이 되지 않는 이유는 합성함수의 미분에 의해 속미분을 했을 때 -1이 곱해지기 때문입니다.
관계식을 잘 살펴보면, g(x)가 x=3a에 대해 선대칭이라는 것을 알 수 있습니다. ln(x)는 증가와 감소가 변하지 않는 일대일대응 함수이므로 f(x)+f'(x)+1이 x=3a에 대해 선대칭인 이차함수라는 것을 알 수 있겠군요. 편의상 f(x)+f'(x)=h(x)라 하면 g(x)는 항상 0보다 큰 값만을 가지므로 h(x)+1은 항상 1 이상, 즉 h(x)는 항상 0보다 큰 이차함수라는 결론을 내릴 수 있습니다.
따라서 h(x)의 대칭축이 x=3a임을 파악하면 이와 같이 h(x)의 식을 세울 수 있습니다. 하지만 아직은 정보가 너무 부족합니다. '상수' a의 값이 구해져야 문제를 풀 수 있을 거 같은데 아직 a의 값을 구할 수 있는 관계식을 찾지는 못했습니다. 어떻게든 a의 값을 구해봐야 할 거 같은데, g(x)를 가지고 할 수 있는 이야기는 이 정도가 끝으로 보입니다.
여기서 한 가지 말씀드리자면, 적분식을 보았을 때 우리가 할 수 있는 행동은 크게 2가지입니다.
1) 미분한 뒤 도함수의 정보를 파악한다.
2) 적분식에 적당한 수를 대입하여 값을 추려낸다.
1번의 경우에는 수2와 미적분 모두에서 공통적으로 요구되는 사항이지만, 2번의 경우에는 과거 일부 가형 킬러 문제에서 요구되었던 발상입니다. 왜냐하면 수2에서는 합성함수의 미분법을 배우지 않기에 적분구간에 x의 계수가 1인 일차식만을 넣을 수 있어 대입과 관련된 이야기를 하기가 상대적으로 어렵기 때문입니다. 방금 적분식을 미분하여 g(x)에 대한 정보를 파악했으니 이제 적분식에 적당한 수를 대입할 차례입니다.
'모든 실수 x에 대해' 두 적분식의 값이 같다고 하였으므로 이는 x에 대한 항등식입니다. 무엇을 대입하여야 할까 좀 생각해보니, g(x)가 항상 0보다 크다는 점에서 착안하여 위끝을 동일하게 설정해준다면 아래끝의 값이 서로 같을 것이고, 아래끝을 동일하게 설정해준다면 위끝이 서로 같을 것이니 이를 통해 a를 구하면 되겠군요. 저는 편의상 아래끝을 동일하게 2a로 맞춰주겠습니다. 물론 위끝을 동일하게 2a+2로 맞추셔도 a값에는 변화가 없으니 참고 바랍니다.
그러면 앞서 언급한 h(x)의 식은 h(x)=(x-3)²+k가 되겠군요. (나)에서 g(4)=ln5라 하였으니 h(4)+1=5가 되므로 h(4)=4가 되겠군요. 그려면 k=3이 나오네요. 이제 끝났습니다. 답을 슬슬 낼 시간입니다. f'(x)를 구해야 하므로 구해보면...
f'(x)는 이와 같습니다. 이제 진짜 답을 내봅시다.
따라서 m=-4, n=16이 되어 m+n=12임을 알 수 있습니다. (EBSi 기준 정답률 8.2%)
개인적으로는 이 문제가 정적분의 주요한 성질들을 굉장히 잘 묻고 있다고 생각합니다. (특히 g(x)>0임을 이용하여 a를 구하는 부분) 다만 당시 10월 22번은 정답률이 약 3.9% 정도로 잡히는데, 굉장히 전형적이었던 다항함수 킬러 문항이었어서 오히려 이 30번이 더 어려웠다 생각했으나 정답률이 이쪽이 2배 이상 높게 나온 것을 보고 조금 신기했던 경험이 있습니다. 아무튼 해설은 이쯤에서 마치겠습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
삼수할려면 군연기 따로 신청 해야함? 아님 그냥 알아서 삼수하고 군대 가면됨?...
-
어디서 보면 월400 어디서 보면 월700 메디컬쪽은 사람들마다 말이 다 다르네
-
더 이상 오르면 곤란합니다..그만그만????????
-
수행하기싫 2
-
니게tv 34일차부터 올릴만한 아이돌 추천받습니다. 0
33일차(내일) 트리플에스 종료, 34일차부터 올릴만한 아이돌 추천받습니다,
-
6평 백분위 100, 9평 백분위 99, 수능 예상 백분위 100인데 수학과외...
-
큰일났음 1
비기너스 듣고있는데 이번에 비기너스 개정되면서 기존 강의 내려갈 가능성이 있다네요 어쩌지..
-
처음들어봐요
-
어떤 삶일가..대학와서 찡그 다 사라짐
-
맞팔 구해요 11
금테 미쿠가 되고싶은 밤이네요 잡담태그 잘담!!
-
드디어ㅠㅠㅠㅠㅠ 다시는 비누로 목욕시키지 않을게
-
대구의 왕 1
-
왜 미적 만점받을 실력도 안되면서 만점표점따지고있었을까
-
피곤 0
곤피
-
ㅇㅈ 4
저녁 ㅇㅈ
-
본연의목적을잃고 뻘글러가됏네...
-
지금 문자알림신청 해도되는건가요? 아님 1월달 가서 신청이 열리나요?
-
실모 관심 있는 분은 쪽지주세요
-
종강을 바란다
-
일본 가보고싶다 6
그치만 혼자가면 국제미아가 될 것이에요...
-
그거 어떻게 됨??
-
일본어 잘 하시는분? 15
유진 이랑 도모다찌가 무슨 차이에여?
-
왜 룩이 대각선으로 움직여 ㅋㅋ
-
안녕하세요. [하제맑음] 총괄 팀장 김다온입니다! 오랜만에 인사 드리는데, 어떤...
-
그게 나야 바 둠바 두비두밥~ ^^
-
댓 달면 제가 만든 9시간짜리 플리 (134곡) 드림 보카로곡이 대부분에 +...
-
불구리를 으흐흐 0
-
건설어쩌구 과빼고 전공예약은 수시만 되는건가..?
-
부어있는거 졸귀
-
원래 컨설팅 업체 한 곳은 선예약해둔 곳이 있었는데, 개인적으로 가격이 생각한...
-
심리적 안정을 위해서…?
-
뭘해야 잘 놀았다고 소문이 날까.....
-
일주일 안간거같은데 근데너무피곤함 기말까지 겜을 끊어볼까
-
알바퇴근 10
-
너무 끄끄느낍인가
-
문해원 들었는데 신택스도 들어보신분 있나요 서로 스타일 달라서 별로일까요
-
맞팔9 2
잡담 잘걸어요..
-
수능 미적 3컷 1
공통 6 14 20 21 22 틀리고 미적 27 28 29 30 틀려서 66점...
-
아빠가 찢갈이라 아빠랑 위증교사 선고 내기했는데 무죄나와서 씨발 10만원 뜯기노 좇같다 ㅋㅋㅋ
-
불법으로 만들어줘
-
보통 언제 하나
-
변표?? 4
제가 알기론 인서울에서 서울대 홍익대 빼고 다 탐구 백분저로 적용한다고 알고있는데...
-
수능말아먹어서 올리기 좀 부끄럽지만 혹시 라인잡아주실분 계신가요.. 학과는 건축학과...
-
미적분 문제집 1
시발점 들으면서 개념 다지고 있는데 뉴런 나오기 전에 공백이 너무 큰것 같아서...
-
영어제시문 독해를 제대로 못하는 학생들이 많아서 논술선생님은 영어제시문을 어떻게...
-
서울대를 제외한 메이져, 인서울 의대에서 물1 응시하는게 더 유리한가요? 물2는...
-
화작 44번을 내가 가채점표에 4번이라고 했어서 86점이 나왔는데 아무리생각해도...
동의합니다. 저도 현장에서 풀었을 때는 이게 22번보다 어렵다고 느껴졌던 거 같습니다. 그런데 막상 수능 끝나고 심심할 때 하나씩 풀어보니 쉽게 풀리는 문제들이 종종 있는 것도 같습니다ㅋㅋㅋ
저는 다음과 같이 풀었는데 주니매스 님 풀이를 보니 잘 푼 것 같아 다행이네요! 글 감사히 읽었습니다
(가) g(x)>0 <=> f(x)+f'(x)+1>1 <=> f(x)+f'(x)>0
적분식의 양변을 미분하면 g(3a+x)=g(3a-x)
<=> g(x)는 x=3a 대칭
<=> f(x)+f'(x)+1은 x=3a 대칭
(g(x)에서 f(x)+f'(x)+1이 합성된 ln(x)가 증가만 하거나 감소만 하는 함수이기 때문)
적분식 integrate g(t) dt from 2a to 3a+x = integrate g(t) dt from 3a-x to 2a+2 를 integrate g(t) dt from 2a to 3a + integrate g(t) dt from 3a to 3a+x = integrate g(t) dt from 3a-x to 3a + integrate g(t) dt from 3a to 2a+2로 바꾸면 앞서 g(x)가 x=3a 대칭임을 알았기 때문에 integrate g(t) dt from 3a to 3a+x = integrate g(t) dt from 3a-x to 3a 임을 알기 때문에 남은 식 integrate g(t) dt from 2a to 3a = integrate g(t) dt from 3a to 2a+2 에서 2a+2=2a or 2a+2=4a로부터 a=1 결정 (a=/0를 가정하고 풀었는데 a=0이라면 모순 발생)
(나) g(4)=ln5 <=> f(4)+f'(4)=4
얻은 조건들로부터 f(x)+f'(x)=(x-3)^2+3이고 f(x)=x^2-6x+12임을 알 수 있고 마지막 적분 식은 치환적분법에 의해
integrate ln(x^2-6x+13)*(2x-6) dx from 3 to 5 = integrate ln(t) dt from 4 to 8 이므로 적분값은 16ln2-4, 답은 12
감사합니다. 요즘 미적 30번은 여전히 식이 가진 의미를 파악하는 것이 중요하긴 하지만 그래도 과거에 비하면 계산량은 좀 줄어든 느낌이 드네용
동의합니다, '식이 가진 의미를 파악하는 것이 중요'하다는 말에서 2021학년도 고3 10월 미적분 29번도 떠오르네요! 그 삼각함수에 대해서 정적분 조건 제시했던 (제 기억이 맞다면)