231130(기하)를 풀어봅시다
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이 문제는 30번 치고는 쉽다고 생각되니, 최대한 간단하게 설명합니다.
일단 삼각형 BCD를 봅시다.
이 그림에서 알 수 있듯이, 정삼각형(정사면체)의 한 변의 길이는 6루트3입니다.
이번에는, 세 점 B, C, D가 한 직선 위에 있도록 단면화를 시켜 보겠습니다.
구의 중심을 O라고 하면, 선분 BO는 원의 반지름이므로 길이가 6입니다.
점 P는 구 위의 점이므로 선분 OP의 길이도 6이고, 선분 AB는 정사면체의 모서리이므로 길이가 6루트3입니다.
이때 피타고라스 정리에 의하여 선분 AO의 길이는 6루트2입니다.
선분 AP의 길이를 구해야 하는데, 그림에서 cosA의 값을 알고 두 선분 AO, OP의 길이를 알고 있으니 선분 AP의 길이를 구할 수 있고, 구하면 (계산 생략) 2루트3이 나옵니다.
삼각형 PQR은 정삼각형이고, 한 변의 길이는 선분 AP의 길이와 같은 2루트3이므로 넓이는 3루트3입니다.
두 점 C, D와 P, Q가 각각 한 점으로 겹쳐 보이게 단면화를 한 그림입니다.
평면 α와 삼각형 PQR이 이루는 각은 앞에 나온 그림에서 각 AOP와 크기가 같습니다.
cos(AOP)=2루트2/3이고, 정사영의 넓이는...
즉, k^2=24입니다.
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헉
30번치고 너무 쉽다보니 문제에 A B C D P Q R을 안적음으로써 난이도를 올린건가 싶기도 한...?
현장 3분컷
깔쌈 그 자체