극한의 보다 엄밀한 표현 (ft. 231114)
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*본문의 마지막 부분을 확인하시면 t에 대한 극한을 먼저 취한 후 x에 대한 극한을 취하는 것과 t에 대한 극한과 x에 대한 극한을 동시에 취하는 것을 같다 볼 수 없으면 본문의 설명이 잘못되었을 수 있다는 말을 확인하실 수 있습니다. 이 글의 내용은 두 변수에 대한 극한을 마치 2변수함수의 극한을 다루는 듯한 감성으로 동시에 걸 때에 대한 흥미로운 담화 정도로 읽어주시고 제대로 된 풀이는 다음 글을 확인해주세요!
그럼 즐거운 시간 보내시기 바랍니다~ (ㅋㅋㅋ 영화관 직원 같네요 영화 보러가고싶다)
이 문제 ㄴ 판단할 때 확인해본 몇 몇 풀이가 엄밀하지 않다고 느껴 '더 깔끔한 것이 없을까' 궁금했습니다.
L이 실수일 때 우리는 '함수 f(x)의 x=a에서의 극한이 존재하며 그 수렴값이 L이다'와 같이 위의 식을 설명하곤 합니다.
실제 함수의 극한은 저 부등식 관계에 대해 임의의 양수 epsilon 값에 대해 대응되는 delta값이 존재하면 '극한이 존재한다'라고 말합니다. 입실론-델타 논법이라고 말하기도 합니다.
다시 말해 delta를 epsilon에 관한 식으로 잡을 수 있다면 내가 epsilon을 0으로 보낼 때 delta도 계속 대응되는 값이 존재하며 0으로 가기 때문에 결과적으로 함수 f(x)가 x=a에서 극한값을 지닌다고 말할 수 있다는 것이죠!
이 생각은 'output의 오차 범위를 설정했을 때 이를 만족하는 input의 오차 범위를 설정할 수 있다면 극한이 존재한다'와 같은 말로도 설명해볼 수 있겠습니다. 제가 입실론-델타 논법을 이해하고 있는 방식이기도 해요.
이 방식으로 극한을 정의하는 것에 조금 더 익숙해지기 위해 1변수함수가 아닌 2변수함수에도 극한을 적용해볼게요
이게 수렴한다 말할 때 우리는
라는 부등식 관계에 대해 임의의 양수 epsilon값에 대응되는 delta값이 항상 존재한다면 함수의 극한이 존재한다고 말합니다.
1변수함수에서 input의 오차범위를 이렇게 볼 수 있다고 생각하면 저 점과 점 사이의 거리를 나타내는 수식이 그리 어색하게 다가가진 않을 듯합니다.
마찬가지 맥락에서 이러한 n변수 함수의 극한은
라는 부등식 관계에 대해 임의의 양수 epsilon값에 대응되는 delta값이 항상 존재한다면 함수의 극한이 존재한다고 말합니다.
자 그럼 이 '오차 범위'의 아이디어를 가져와 봅시다.
우리에게 친숙한 극한을 나타내는 저 표현을 아래와 같은 표현으로 바꾸어 생각해볼 수 있지 않을까요?
epsilon은 0은 아니지만 0으로 가는 상태인 어떤 실수값이고 우리는 a+epsilon에서의 f의 함숫값을 관찰하는 것이죠!
처음에 '어쨌든 극한값을 함숫값으로 바라보는 느낌인데 괜찮나' 싶었지만 x를 a+epsilon으로 치환해보면 문제 없다는 것을 발견할 수 있었습니다. (여담이지만 연대에서 미적분 가르치는 교수님께도 확인을 받은 표현입니다)
그럼 예를 들어 내가 다음과 같은 극한을
이렇게 바라봐보자는 거죠!
그럼 이 표현을 문제 풀이에 어떻게 적용해볼 수 있느냐...
여기서 h(x)를 우리는 위의 아이디어를 이용해 이렇게 표현해볼 수 있겠습니다.
엄밀히 말하면 저 두 epsilon이 일치하리라는 보장이 없으니 다음이 더 적절해보입니다.
문제의 ㄱ에서 x=1에서의 함수 h의 함숫값을 조사하게 했으므로 ㄴ에서 연속성을 판단할 때 x=1부터 조사해볼 생각을 할 수 있습니다. 평가원은 보통 합답형을 출제할 때 ㄱ을 통해 문제 상황을 간접적으로 파악하고, ㄴ을 통해 조금 더 깊게 파악해본 후, ㄷ에서 모든 상황을 묻는 경향이 있다고 느꼈습니다.
먼저 우극한부터 조사해봅시다, 이 또한 마찬가지로 우리가 표현을 바꾸어주면
이렇게 바라볼 수 있겠습니다. g는 x>1에서 x이므로
이 되겠습니다. epsilon_i (i=1, 2, 3) 가 결국 0에 한없이 가까워지는 양의 실수값이라는 점을 기억해두시면 편하게 해석해볼 수 있겠습니다.
이제 문제의 좌극한입니다.
내가 이것을 해석해야하는데, 원래대로라면 t와 x 모두 극한이 들어오기 때문에 t를 먼저 적용하고 x를 적용한다지만 뭔가 애매하다거나 헷갈린다 싶은 부분이 느껴지는 것은 자연스러운 것이라 생각합니다.
우리가 나타낸 표현대로 바꾸어주면
이렇게 되겠습니다.
오른쪽 부분은 이렇게 되어 3으로 수렴함을 확인할 수 있겠습니다. 그런데
왼쪽 부분은 epsilon_1과 epsilon_3의 대소 관계에 따라 다른 값으로 수렴할 수 있음을 확인할 수 있습니다. 다시 말해 (직관적으로 볼 때) epsilon_1과 epsilon_3 중 누가 더 빠르게 0으로 가느냐에 따라 g(x+t)의 x->1- & t->0+일 때의 극한이 다른 값으로 수렴할 수 있다는 뜻입니다.
따라서 h(x)의 x=1에서의 연속성을 보장할 수 없으므로 ㄴ은 거짓인 선지가 됩니다. ㄷ도 비슷한 방식으로 생각해보시면 x=-3, x=-1, x=1일 때 모호하게 느껴지던 극한을 보다 확실하게 설명하실 수 있을 거예요!
이 생각을 떠올리고 나니 ebsi 해설은 어땠을지 궁금해졌는데
그냥 범위 나누어 식부터 작성하고 판단했더라고요. 제가 느끼기엔 경계에서 약간의 모호함이 있는 듯한데... 어차피 교육 과정도 함수의 극한을 '직관적으로 받아들이라'고 말하고 있기 때문에 큰 문제가 되지 않는 것 같긴 합니다.
ebsi는 공교육 대표 기관이다 보니 교과서에 기반한 해설을 남겨두어서 평가원 기출 문항 공부하시다가 '엄밀한 해설이 뭘까?' 궁금하실 대 한 번씩 활용해보셔도 좋겠습니다. 고1, 고2 분들도 교육청 모의고사 해설을 제공해두니 활용해보시면 좋겠습니다!!
이렇게 이번 글에서는 극한에 대한 보다 엄밀한(?) 표현을 소개해봤습니다.
교육 과정 내에서 명시적으로 소개하는 것은 아니지만 대학 교수님께 검증도 받았고 치환을 통해 편하게 설명할 수 있는 개념이기 때문에 다들 익혀두시면 도움 될 것이라 생각합니다!
p.s. 요새 극한으로 정의된 함수를 출제자들이 좋아하는 것 같다는 말을 어디서 들었던 것 같은데 epsilon 도입해서 깔끔하게 처리해내면 내가 이것이 맞는 말인지, 틀린 말인지, 논할 수 없는 말인지 명확히 구분해볼 수 있지 않을까 생각합니다. 다들 오늘 하루도 수고하셨고 내일 하루도 파이팅하시기 바랍니다!!
+
나는 현우진 수분감 작수 14번 해설이 왜 논란이 안되는지 모르겠음
이 글 확인해보시면 본문과는 다른 방식으로 설명을 해주셨는데,
좌변과 우변이 의미하는 것이 같다고 말할 수 있는지가 중요할 것 같습니다. (본문 시작 부분에 수정해두었지만 같다고 말할 수 없을 것 같습니다! 이에 대한 내용은 본문 시작 부분에 달아둔 링크로 들어가시면 확인하실 수 있습니다)
(작수 14번 ㄴ 판단에서는 가능할 듯한데 일반적인 상황에서) 같다 말할 수 있다면 본문의 epsilon을 이용한 표기로 접근하는 것이 가장 엄밀해보이고 그렇지 않다면 본문의 설명은 '흥미롭지만 잘못된' 설명이 될 수도 있겠습니다.
참고로 우변의 경우 엄밀히 말하면 1변수 함수가 아닌 2변수 함수의 극한을 묻는 감성인데.. 또 x-t 평면에서의 극한을 따지는 것은 아니고 왼쪽과 오른쪽 두 방향만 존재하는 수직선 2개를 세워두고 극한을 묻는 느낌이라 이건 더 고민해볼 필요가 있겠네요
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엡실론 델타를 수능에서 써야하는 날이 오다니…
뭐 완전히 도입한 것은 아니니까... 그런데 작수 14번 ㄴ 저거 본문 같은 표현 없이 말로만 설명하기엔 뭔가 애매하지 않나요 ㅋㅋㅋㅋ 아무리 생각해도 말로만 '어~ 이러니까 되는 거야~' 하면 공부하는 사람 입장에서 엄밀하지 않다 느낄 것 같은데
저같은경우는 비슷한 5모미적30도 그냥 직관에 의해서 처리하긴 했어요
정확히는 수능에 한하여 너무 당연한 것들은 당연하게 받아들이자는 주의기도 하고
아 그러네요 지난 5모 30번도 따지고 보면 극한을 두 번 씌우는 것이니까
전 그나마 이거는 평균변화율로 찢어서 살펴보면 g(x)를 깔끔하게 표현할 수 있으니까 괜찮다고 느꼈어요
약간 출제자가 극한값으로 정의된 함수의 극한을 물어보는것에 꽂힌듯?
올해 6월이나 9월에도 극한의 극한 나오면 내년 n제부터는 극한의 극한의 극한 물을 듯.. epsilon_1+epsilon_2+epsilon_3 경우의 수 분류 이런 거
엡실론 델타 논법 도입은 지적 유희죠. 3blue1brown같은 곳에서만 봐도 재밌던데.. 일단 저는 이 문제 최대•최소 정리를 이렇게 묻는구나 하고 시험장에서 감탄했었습니다. (ㄱ이 답인것도 포함해서 ㅋㅋ)
저도 최대최소정리나 사잇값 정리, 평균값 정리 같은 ’존재성’을 보이는 개념들은 ㄱㄴㄷ로 이렇게 출제하는 것이 적절할 것 같다는 생각을 해왔어서 작수 14번 처음 봤을 때 인상적이었어요!
엡델은 신이다
아직 1변수 함수 극한 엡델로 보이는 것도 잘 못하겠어요
엡델 ㄷㄷ
대학 미적분학 처음 공부할 때 제일 마음에 들었던 아이엡델타 등쟝
오늘 엡델만 2시간은 고민한 듯
선생님 글 항상 유익하게 보고 있습니다감사합니다! 고등학생 때 공부하며 '내가 대학 잘 가면 학습 자료 만들어서 다 뿌리고 다녀야지' 했어서 그런지 과외 자료 만들다 괜찮다 싶은 거 있으면 바로 오르비 같은 입시 커뮤니티에도 소개하고 싶어져요 ㅎㅎ
엡실론 뭐시기는 뭔 말인지 모르겠는데.. 극한으로 정의된 함수의 연속성 확인할 때는 ebsi 해설처럼 일차적으로 함수 설계하고 다시 극한 취하는 것 외에 직관적으로 판단할 수 있는 방법이 없을까요??(우극한의 좌극한? 이런 거,,)
있을 것 같긴 한데 (직관적 파악이 교육과정이 추구하는 바이니) 저는 잘 모르겠어요.. 입실론-델타 논법은 이해하실 필요 없고 아래 쪽에 lim_{x\to a} f(x)= L을 f(a+\epsilon)=L (\epsilon>0, \epsilon
to 0)으로 표기할 수 있다는 맥락만 파악하시면 본문의 14번 ㄴ 풀이 이해에 문제 없을 거예요!!
입실론-델타 논법은 함수의 극한을 직관적으로가 아닌 엄밀하게 정의하는 방법으로 공부하시다 하기 싫으실 때 유튜브에서 영상 몇 개 찾아보시면 흥미로우실 거예요
한참 이해 안돼서 해설도 들어보고 글도 찾아볼 때 https://orbi.kr/00062961626/나는-현우진-수분감-작수-14번-해설이-왜-논란이-안되는지-모르겠음?q=현우진%2014번&type=keyword 이 게시물을 봤는데 이것두 아직 뭔 말인지 잘 모르겠던데 책참님이 말씀하신 거랑 같은 말인건가요??
살펴봤는데 다른 말 같습니다. 저는 각 극한에 대한 오차 범위 (epsilon에 해당) 를 따로 잡아주어 대소 관계를 비교했을 때 극한값이 경우에 따라 다르게 나온다고 생각했고 저 분은 결과적으로 나중에 씌운 극한을 고려하면 된다고 말씀하시는 것 같습니다. 음... 저는 본문의 내용이 가장 엄밀한 풀이라고 생각했고 아래 영상에서도 비슷한 논리로 ㄴ을 지워내는 것을 확인해서 제 생각이 맞다 봤는데 이건 더 고민해봐야할 듯요
https://youtu.be/hnsh2xd2HSM?t=1007
침고해서 저도 더 고민해보겠습니다 댓글 감사합니다유율법? 맞나
처음 들어본 단어여서 조만간 찾아볼게요
x+는 어찌됐든 x보다 큰 수니까 여기서 좌극한 취해봤자 x보다 클 수밖에 없다는 식으로 풀었는데 맞는 풀이인가요?
t->0+일 때 g(x+t)의 x+t가 어쨌든 x+t>x를 만족하니까 여기서 x->1- 해봤자 x+t>x에 따라 1+t>1로 푸셨다는 말씀 맞을까요?
저도 14번 ㄴ을 평가원이 어떤 생각을 물었고 어떻게 설명하는 것이 올바른지 계속 고민 중이라 섣불리 맞는 풀이다 아니다 말씀드리긴 어려울 것 같습니다. 같이 고민해보아요! 다만 제 주관적인 생각으로는 잘 모르겠습니다. x+t>x에서 양변에 x->1-인 극한을 취하면 함수의 극한의 성질에 따라 부등호에 등호가 들어가 x+t=x인 경우를 고려해야하지 않나 싶네요...
본문에 첨부한 ebsi 해설처럼 범위 나눠 h(x) 직접 작성하고 생각하는 게 교육과정 내 사고 과정으로는 깔끔한 것 같은데 더 고민해볼게요
일단 강대 모 선생님께서는 맞는 풀이라네요
오 그렇군요! 알려주셔서 감사드립니다. 강사 분들마다 설명이 다른 것 같아서 조만간 더 살펴봐야겠어요
애초에 상쇄되는것 자체가 이상한 풀이라고 하심
맞아요 상쇄되는 것은 저도 잘못된 풀이라고 생각합니다. 본문에서 epsilon1과 epsilon3이 일치할 때가 상쇄되는 때인데, 이외의 상황도 발생하기 때문에 '함수 h(x)의 x=1에서의 좌극한은 존재하지 않는다'라고 말하는 것이 ㄴ을 보이는 깔끔한 방법이 아닐까 싶네요..
수학에서 거짓임을 증명하는 방법은 주로 반례를 보이는 방법입니다. 거짓임을 참일 때 처럼 엄밀하게 증명할 이유는 없습니다.
그렇죠 반례 보여 어떤 명제가 거짓임을 보이는 것이 편하긴 합니다. 그런데 작수 14번 ㄴ의 경우 반례를 잡든 뭘하든 하려면 결국 g(x+t)의 x가 1-로 가고 t가 0+로 가는 상황에서의 극한을 조사할 필요가 있는데 여기서 x=1-a 꼴이고 t=a 꼴이기에 1-a+a 인 상황이 되어 논하는 것조차 불가하지 않나 싶습니다.
https://youtu.be/hnsh2xd2HSM?t=1007
이 해설에서도 같은 방식을 따르고 있어 혼란스럽습니다.
ㄷ 선지 판단 과정인데요.
"[-3,1]구간에서 증가하게되면 x=-3을 확인하고 최소를 갖는것을 확인할 수 있고
[-3,1]구간에서 감소하는 함수라면 1에서 최소를 가질텐데, x=1의 오른쪽 왼쪽 극한을 확인할 필요보다는,
*x=1에서 음수의 값을 갖지 않는 것만 확인해도 사실 최소가 없다는 것을 확인할 수 있습니다*
x=1에서 양수가 나오면 밑에 감소하는 함수에서는 x=1의 값이 존재하지 않으므로 최소가 없구나를 이것만으로도 확인할 수 있죠!
그래서 사실 그래프는 보여주기 위해서 그린거고, 극한 중첩도 필요없는 문제라고 할 수 있겠습니다...ㅎㅎ"
라고 전에 23수능 손풀이 올렸을 때 답글을 달았던 적이 있습니다.
즉 극한 중첩으로 볼 이유가 전혀 없는 문제입니다.
즉 x가 1-로 간다 이런걸 따질필요 없이 x=1일때를 따져보면 되는 문제입니다.
아하 이해했습니다! 극한 중첩을 생각할 필요 없이 풀 수 있는 문제였군요..
그렇다면 선생님께서는 본문과 본문에 하이퍼링크처리 된 글과 관련한 극한 중첩에 대해서는 어떻게 생각하고 계신지 여쭤봐도 될까요? [극한 중첩을 고려하지 않는 것]이 평가원의 출제 의도라면 납득이 되는 풀이인데 풀이의 다양성을 추구하는 평가원에서 극한 중첩을 고려하는 것도 분명 확인하고 출제했을 것이라는 생각이 들어요. "굳이 논할 필요가 없다" 입장이신 건가요?
네 만약 저 논지가 참이었고 케이스들을 분류했을 때, 케이스를 전부 증명하기 위해선 극한 중첩이 필요했다면 문제가 될 수 있는 부분이 맞습니다.
그런데 논지가 거짓이고 반례를 하나만 발견하면 되는 부분이기 때문에, 극한 중첩은 교과 범위가 아니기도 한 이유로 '고등학생용 반례'로는 적절하지 않아보이네요...ㅎㅎ
저도 현장에서는 극한중첩 저렇게 풀었는데 나와서 설명하려고 보니까 교과 범위가 아니어서 여러 풀이들을 찾아봤었습니다. 다 저렇게 풀더라구요. 그래서 좀 생각해서 도달한 풀이가 이겁니다 ㅎㅎ
점점 교과외 범위도 자연스럽게 나오긴 하네요
설명해주셔서 감사드립니다!! 교과 외 범위가 자연스레 보이는 이유는 n수생 유입을 의식해서일까요 혹은 기존에 쌍곡선 함수 같은 것을 자연스레 냈던 것과 비슷한 맥락일까요,,
그렇다면 14번 ㄴ을 대학 과정으로 넘겨 엄밀히 설명할 때는 어떻게 해야하는지 고민해봐야겠어요
14번 ㄴ을 대학 과정으로 넘겨 엄밀히 설명해도 단지 위에서 말한 극한 중첩인 상태에서의 반례도 보일수있는 차이가 있다 뿐이지 별 차이는 없어보임다!!
확실히 현우진선생님은 틀린풀이죠 명백히 결론이 상쇄라고 쳐도 그순간엔 상쇄를 외칠 순 없다고 봅니다
제가 생각하기에도 t->0+과 x->1-에서 t와 0 사이의 오차와 x와 1 사이의 오차가 일치하리라는 보장이 없어 상쇄로 설명하는 것은 잘못된 것 같긴 한데.. 제가 직접 현우진 선생님 강의를 확인해본 것이 아니라 확언하기는 어려울 것 같습니다. 오랜만에 고민해볼 거리 찾은 듯해 재밌네요!
제가 이해한게 맞을지 모르겠네요
g(x)를
x>=0일때 2
x<0일때 -2라 할때
lim g(x+t)=h(x)라 하면
t->0-
h(x)=g(x-입실론)으로 볼수있고,
g(x-입실론)은
x-입실론>=0일때 2, x-입실론<0일때 -2로
볼수 있고, 이때의 입실론 값이 0보다 크므로
정의역은 x>0, x=0, x<0 세개로 나뉘어진다.
따라서 h(x)는 x>0일때 2, x=0일때 -2, x<0일때 -2이다
위 문제에 적용해보면
lim g(x+t) 또한
t->0+
정의역이 x+입실론>1, x+입실론<-1
-1<=x+입실론<=1이 되고
마찬가지로 입실론>0이므로
lim g(x+t)=h(x)라 하면
t->0+
h(x)는 -11일때 x
x<-1일때 -x이다. 저는 이런식으로 이해해서
풀었던것같아요!
네! 같게 생각하신 것 같아요
h(x)를 t->0+ 일 때 g(x+t)로 정의하면 x=-1일 때 h(-1)=g(-1+입실론)=f(-1+입실론)이 되고 x->-1-일 때 h(x)는 h(-1-델타) 이므로 g(-1-델타+입실론) 에 따라 어디로 갈지가 달라진다...
그런데 어제 지인선 님께 여쭤본 바에 의하면 이렇게 극한을 동시에 고려하면 안되고 t에 대한 극한부터 생각해 h(x)를 작성한 후 x에 대한 극한을 고려해야하는, '무엇을 먼저 적용하는지'를 묻는 문제라고 말씀해주시더라고요. 그럼 본문의 설명은 틀린 것이 되어서 조금 더 고민해보고 다른 분들과 이야기 나누어 본 후 다시 답 드릴게요!
넵 제가 생각하기에도
g(x)를 x>0일때 2
x<=0일때 -2라 할때
lim g(x+t)=h(x)
t->0+
이때의 h(x)의 정의역은
x+입실론>0, x+입실론<=0
이때의 입실론값이 0보다 커야하므로
h(x)의 정의역을 x>0, x=0, x<0 이렇게
세개로 나눈 이후에 x에 대한 극한을 취하는게
맞다고 봐요
궁금한게 고등과정에서는 엡실론 델타 논법을 안배우는데, 좌미분계수와 같은 표현이 수학적으로 가능한가요? 저는 고등과정에서 미분계수 자체를 평균 변화율의 극한값으로 정의하고,극한값이 존재하기 위해서는 좌극한과 우극한이 같다라는 방향으로 나아간다고 생각해서...
대학 미적분학에서도 직관적으로 극한을 먼저 정의한 후 (한없이 가까워진다) 입실론-델타 논법을 통해 엄밀하게 정의합니다. 1변수 함수일 때는 직관만으로도 충분한데 2변수 함수일 때부터는 이론 상 무한가지 방향에서 극한을 보낼 수 있기 때문에 입실론-델타 논법이 필요한 것이 아닌가 생각하고 있어요.
따라서 좌미분계수, 다시 말해 평균변화율의 좌극한과 같은 표현은 수학적으로 사용할 수 있다 생각합니다! 평균변화율은 두 점 사이의 y증분/x증분을 의미하고 이것의 극한이 한 점에서의 순간변화율, 다시 말해 미분계수가 되는 것이니까요.
실제 고등학교 교육과정에서 미분 가능하다는 것은 미분계수의 존재성, 평균변화율에 극한을 취했을 때 이 극한이 수렴하는 것으로 설명하고 있고 이는 말씀하신 것처럼 좌극한과 우극한이 수렴하고 두 수렴값이 일치하는 상황을 뜻합니다. 엄밀하게 보일 때 입실론-델타 논법이 필요할 뿐 1변수 함수의 극한은 직관적으로도 충분히 이해해볼 수 있기 때문에 현 교육과정대로의 설명에 문제가 있다고 생각하진 않습니다! 약간의 엄밀함이 부족할 뿐?
제가 질문의 취지를 잘못 전달드린듯 싶네요 ㅠ
현 교육과정이 문제 있다 이런 의견은 아니구요... 교육과정 체계에서는 좌미분계수라는 표현이 존재하지 않는데(그냥 평균변화율의 좌극한), 강의나 해설에서는 보통 좌미분계수라고 많이 하지 않습니까? 그런데 교육과정에서는 미분계수를 이미 극한값이 존재하는 경우로 정의하고 있죠. 이 지점이 의문이 되어서 의견을 듣고자 했습니다.
앗 그러셨군요 ㅋㅋㅋ 말씀하신 것처럼 '좌미분계수'라는 표현을 우리가 직접 배우진 않습니다. '평균변화율의 극한'이 수렴할 때 그 값을 '순간변화율' 또는 '미분계수'라 부르는데 이 맥락에서 '평균변화율의 좌극한'을 편의상 '좌미분계수'라고 부르곤 하죠!
미분계수는 '평균변화율의 극한이 수렴할 때 그 극한값'이기 때문에 미분계수에 대해 논한다는 것은 일단 극한이 수렴함을 전제하는 것이라고 알고 있습니다. 그래서 '좌미분계수'와 같은 표현은 우리가 '평균변화율의 좌극한'이 수렴하는지 발산하는지 모를 때 써버리면 말씀하신 것처럼 문제가 될 수 있다고 생각해요.
정리하자면 미분 가능할 때, 다시 말해 미분계수가 존재할 때는 '좌미분계수'라는 표현을 평균변화율의 좌극한을 대체하는 말로 사용해도 '맥락상' 문제가 되지 않지만 미분계수를 조사하는 상황에서는 아직 미분계수가 존재하는지 모르기 때문에 엄밀히 말하면 문제가 될 수 있다고 생각합니다. 공부하시거나 설명 들으실 때는 '좌미분계수'라는 표현 자체를 '평균변화율의 좌극한'으로 받아들이셔도 충분할 것 같습니다! 제가 말씀하신 것을 잘못 이해한 부분이나 더 이야기 나누고싶으신 부분 있다면 답글 달아주셔요
가형기출 킬러에서 이거땜에 좀 빡쳤는데
x 구간별로 함수 세팅 다르게 해놓고 여기다가 다시 t 집어넣고 다변수 극한 꼴 물어보길래
이게 x를 먼저 보고 t를 해석하는지
t를 먼저 보고 x를 해석하는지
강사한테 물어보니깐 지도 뭐 어벙벙 해가지고 ^ㅣ발 ㅋㅋ
x + 극한에다가 t - 극한 취하면 이건 좌극인지 우극인지 ㅈㄴ 아리송
그래서 그냥
일단 x값에 대한 극한이 우선이고 그 다음이 t라고 납득해버림...
언급하신 가형기출 킬러 몇년도 몇 번인지 알 수 있을까요?
교육과정 외의 내용을 이용한 풀이는 학생들 입장에서는 멋있고 간지날 수 있지만 문제출제의 원래 의미를 거스르는, 그러니까 그러라고 만든 문제가 아닌 것 같습니다. 엄밀함을 따지려면 수열의 극한의 기본성질부터 하나하나 증명해야 하는데 그거는 좀 아니잖아요. 고등수학에서는, 특히 극한 파트에서는 엄밀함보다 그래프를 통한 직관적 풀이를 좀 더 지향해주셨으면 합니다.
입실론-델타 논법을 소개한 것은 교육과정 외가 맞지만 확인해보시면 교육과정 내의 풀이입니다. 함수 f(x)의 x=a에서의 미분계수 정의할 때도 x->a 일 때의 극한식도 존재하지면 x-a=h로 볼 때 h->0 일 때의 극한식도 배우잖아요? 그 맥락으로 받아들이시면 될 듯합니다, 안 그래도 이에 대한 설명이 부족하다고 느껴서 오늘 내일 중으로 본문 관련 글을 새로 작성해볼 생각이에요
현역인데, 잠시 고민하던 부분인데 시원하게 뚫어 주셨네요. 감사합니다..
잘못된 설명일 수 있음을 확인했습니다. 231114에서 h(x)의 x=1에서의 좌극한을 다루는 것이 x->1-와 t->0+ / t->2+ 를 동시에 고려하는 것과 다르다고 설명하는 것이 적절할 것 같습니다. 이와 관련해 글 다시 남기고 답글 해둘게요! (아직 고민중, 알아보는 중인 부분입니다)
입델은 신이다
내 사랑 입실론
엡델을 고교과정에 넣어야 한다 !
전 진지하게 고등학교 때 다변수함수 소개해야한다고 봐요, 경제학과만 해도 1학년 들어오자마자 생산함수 배울 때 다변수함수에 대한 이해가 필요하고 (나아가 다변수함수의 극한, 편미분 등) 수확체증/수확불변/수확체감 배울 때 동차함수에 대한 이해가 필요한데 고등학교 때 다루는 내용이 부족한 느낌
대병훈 ㅋ ㅋ
https://youtu.be/r5zNrulBZ9o?t=3491
정병훈 선생님 해설도 이따 일정 끝나고 확인해볼게요!
항상 좋은 칼럼 써주셔서 감사합니다약연 님 기하 관련 글도 (비록 이해는 못하지만) 항상 잘 보고 있습니다!! 인터넷이 발달한 시기에 태어난 덕분에 내가 소개하고 싶은 것들을 이렇게 시공간의 제약 없이 많은 수험생 분들께 전해드릴 수 있어서 참 기뻐요