근의 분리 상위호환
게시글 주소: https://h.orbi.kr/00068358303
과외준비를 하다가 이번 6모 15번과 작년 9모 13에가 어떤 관점이 동일하게 쓰인다는 것을 알았는데요,
특히 9모 13번을 이렇게 푸는 것은 처음 봤다고 하네요.
앞으로 근의분리는 쓰지 마세요. 오늘 알려드리는 이 방식이 근의 분리를 거의 완전히 대체할 수 있습니다
(글 맨 마지막에 조건 달아뒀습니다.)
사실 저는 그렇게 특이한 접근인지는 모르겠습니다. 수학(상)을 열심히 공부했다면 이게 가장 자연스러운 접근이죠. 아무튼 과외생을 보며 이걸 여러분께도 소개해드리면 나름 의미가 있겠다고 판단되어 글로 쓰게 되었습니다.
일단 이번 6모(2025학년도)입니다. 문제를 다 풀진 않을거고, 맨 마지막 부분만 볼게요. (나) 조건을 통해 k=2인 것까지 구한 상황입니다.
k=2니까 g(x)가 미분가능하려면 f(2)=2, f'(2)=2여야 합니다. 최고차항 계수가 1인것도 아니까, 문자 하나만 가지고 식을 세울 수 있습니다.
이렇게 말이죠.
(가) 조건에 의하면, 얘가 x가 2보다 큰 곳에서 항상 증가해야 합니다. 그럼 당연히 도함수 관찰을 해야겠죠.
아, 센스 있게 2만큼 왼쪽으로 평행이동해서 봐도 되는데(저도 풀 때 그렇게 했구요) 헷갈리는 독자도 있을 수 있기에 여기선 그대로 갈게요. 괜히 과정 추가하지 않겠습니다.
아무튼 미분해보겠습니다.
냅다 판별식 쓰면 안 된다는 것은 알고 계실겁니다.
함수가 x축과 두 번 만나지만 x가 2보다 클 때는 x축보다 위에 있을수도 있으니까요.
난 그냥 그렇게 해서 맞았는데? 하시는 분들은 운이 좋으신 겁니다. 이 문제에선 결국 그게 답이긴 하더라구요 ㅋㅋ
여기서 a 범위를 나눠서 푸는 분들도 있습니다.
그건 올바른 풀이지만, 완전히 상위호환인 다른 풀이가 있어요. 그걸 지금 알려드리겠습니다.
일단 부등식에서 모르는 문자가 있는 부분을 넘겨버립니다. 그 뒤에 기하적인 의미를 부여할겁니다.
왼쪽은 완벽하게 그릴 수 있는 이차함수고, 오른쪽은 (2,0)을 지나면서 a에 따라 기울기가 달라지는 직선이죠.
이때 “직선이 항상 이차함수보다 아래에 있어야 한다” 라고 해석해주시면 됩니다.
그럼 기울기가 점점 가파라지다가 딱 접하는 순간까지 가능하겠죠? 그때보다 기울기가 더 커지면 직선이 더 위에 있는 순간이 생깁니다.
반면 기울기가 음수라면 음의 무한대까지 계속 가능할 겁니다.
x가 2보다 큰 곳에서는 여전히 아래에 있기 때문이죠.
그럼 접하는 순간 계산해볼게요.
a는 플마 루트 6인데, 둘 중에서 우리가 원하는 순간은 -루트 6일겁니다. 그래야 빨간 직선의 기울기가 양수가 되기 때문이죠.
a의 범위는 -루트6보다 크다가 되겠네요.
2024년 9평 13번에도 이걸 적용해볼게요.
저도 이렇게 빨리 풀릴 줄 몰랐는데, 아주 빨리 풀 수 있습니다.
얘도 당연히 도함수를 관찰해야겠죠.
연두색 영역에 도함수가 그려져야 합니다. 파란색 함수처럼요.
반드시 (-1,0)을 지나야 하겠네요.
왼쪽 함수에 대입해봅니다.
b=2a-1이 나오겠네요.
도함수의 오른쪽부터 관찰해보겠습니다. 아까 했던 거 똑같이 할게요.
a범위 구했습니다.
왼쪽에서 새로 추가되는 조건은 없습니다. 이미 이 조건만으로도 왼쪽 구간 함수는
y절편이 양수고
(-1,0)을 지나므로
아까 말한 연두 구간에 그려집니다.
우리가 구해야 하는건 a+b의 최대최소 즉, 3a-1 의 최대최소값입니다. a 범위를 아니까 다 구한 셈이네요.
네 여기까지입니다.
부등식으로 인식한 뒤에 약간의 변형을 가해주어서 기하적으로 관찰하는 방법을 알려드렸습니다.
문자범위 나눠서 하는 것보다 훨씬 빠르고 실수 확률이 적은 풀이라 생각합니다.
한 마디 덧붙이자면, a로 묶인 부분이 기하적으로 깔끔하게 해석이 가능할 때 이 방식을 쓸 수 있습니다.
그럼 언제 깔끔한 해석이 불가할까요?
a의 계수가 이차도 있고.. 일차도 있고 이런 식으로 여러 개가 있다면 기하적 의미를 부여하기 힘들 겁니다.
즉 문자 계수가 하나로 한정된 상황에서는
이 방식이 근의 분리를 완전히 대체한다고 말할 수 있겠네요.
다음에 또 좋은 글로 찾아뵙겠습니다. 감사합니다.
0 XDK (+1,010)
-
1,000
-
10
-
2시 22분 2
자러 간다. 얼버잠
-
phi는 공집합
-
아 피곤해 3
근데 하나도 안 졸려 걍 연속 실모를 벅벅
-
현역때 낮은 지거국이였는데 옆그레이드 되는듯한 기분;;
-
상상컨 인강에서 5-10 독점이신데
-
여쭤보고시픈게 있는데 쪽지 ㄱㄴ???ㅜㅜㅜ급합니드어
-
시발점 들으려다가 강의수가 너무 많아서 이미지쌤 미친개념이랑 수분감 병행하려는데...
-
너무 티 났나. .....
-
안해.
-
작년에는 아빠가 태워다주셨는데 이번 년도에는 불가피하게도 태워다 줄 수가...
-
이감 6-9 0
독서론 3번에서 쳐맞고(나만 어려웠냐 정답률 왜이럼) 6,14에서 쳐맞고 21...
-
뭘로 찍어야되나요?
-
과자사와야지 1
공부 더 해야 해
-
수능전 마지막으로 들어왔는데 독서는 경제가 좀 이슈인거 같고 그럼 경제+과학+인문...
-
123중 제일 쉬운거 아는회차까지 알려주세요~~~
-
The workplaces of electronics engineers are...
-
영어 2 0
최저러여서 영어2는 나와줘야 하는데 기출 시간 재고 풀면 70후반~80초반...
-
그거 보고 성적 잘 받으면 당연히 좋은 거긴 힌데 저격당했을 때 탓할 사람이 나밖에...
-
계속 반복해도 왜 머릿속에 안들어가는거냐ㅠ
-
오공끝 5
자자
-
3025명이 치대+한의대보다 많으니까 약치한 터지는 건가요..?
-
(대충 그 불꽃가능 짤)
-
이거 어디 글에 있나여 궁금
-
있어야 1 되는데 아 ㅋㅋ
-
“사문이틀만에만점호소인”부터 시작해서..
-
얼버기 5
-
Sibal
-
물1러 2
물1러분들 수능 전날까지 계획이 어떻게 되시나요? 전 실모 계속 풀면서 작년이랑...
-
어때용 현실기준으로(공대)
-
. 7
-
1/5일부터 죽을만큼이라고는 안할게요 저보다 열심히 하신분도 많겠지만…. 1등급도...
-
공통 어려움 선택 쉬움 vs 공통 쉬움 선택 어려움
-
사문 0
도와주세요 아직 개념2회독 못했는데 어떻게 해야하나요 뒷부분도 까먹었는데 앞부분도...
-
저게 왜 논란인지 모르겠음 분명 처음에 배울땐 이해했엇는데 아니 애초에 부사절은...
-
-
그거 아시나요 6
현재 시각 11월 10일 오전 1시 49분... 수능 디데이 D-4 수능까지 94시간 남음...
-
개념양은 당연히 미적이 많긴 한데 체감상 난이도만 따지면 이렇지 않나
-
화이팅
-
적중예감 10~13 회차랑 사만다 파이널 수능 직전에 풀려고 아껴놨는데 공부...
-
진짜 미친시도 많이했다 국어 풀이 내좆대로 개조하기(문독문독문독언) 수학 4점...
-
늅늅 ㅎㅇ 2
이번에는 컨셉 못잡을거같습니다. .. .
-
추천좀요
-
덕코 편의점… 3
눈팅만 했을때 진짠줄 알았음 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ개웃김
-
호날두, 메시, 즐라탄, 토레스, 아자르, 노이어, 로이스, 크로스,...
-
이거....왠지 예전에 n주기라 나올법하다 하고 안나왔었는데 혹시? 주제도 그렇고...
-
왠지 '기세' 두글자는 쓰면 안될것 같은 느낌이;;
-
국어 순서 어떻게됨? 15
난 문독언
-
에서 나온거 중에 수능에 나온거 뭐있음?
-
요즘도 예언 자주 하시나??
-
허수특 2
이해원n제 풀면서 이렇겐 수능에 안 나올 듯 ㅇㅈㄹ하면서 문제 오답 제대로 안하고...
개추 눌렀다....
캬
일단 읽어보고 걔추
볼 때마다 존경스러울 뿐입니다앞으로도 좋은 글 써볼게요 ㅎㅎ
ㄷㄷㄷ
갑종님이랑 생각이 거의 일치하는...
왜냐면 둘이 친구거등
저도 작년 9평 13번을 이렇게 푸는게 맞다고 생각했어서 근의 분리니 뭐니 말 많을때 잘 이해가 안되긴 했었어요
김현우 선생님이랑 완전히 똑같이 푸셨네요.. 칼럼 잘보고 갑니다!
15번 이거풀때 산술기하로 풀었는데 최솟값이라 풀린거겠죠
6평 말하시는거죠?
산술기하도 괜찮네요. 왜냐면 여러가지 조건이 딱 맞아 떨어져서 여기에 산술기하를 쓸 수 있습니다.
일단 x가 2보다 큰 부분을 봐야 하는데, 그게 x-2>0이어야 하는 산술기하 조건이랑 맞아떨어졌구요,
부등식에서 오른쪽 부분이 상수이기 때문에 최솟값만 보면 됩니다.
물론 좀 더 근본적으로는, 산술기하는 완전제곱식에서 나온 공식이기에 똑같다고 볼 수도 있지만
아무튼 아주 맘에드는 관점이네요!!
넹 6모 15번 x-2>0보다 큰상태여서 이거로 산술기하썼는데
해설강의같은거 보니까 다들 다르게풀어가지고 결국 똑같은이야기였네요
대범준 그래프 분리
첫 문제에서 a=±루트6 구하셨을 때 D/4 공식을 쓰셔는데, 미지수를 (x-2)로 해서 b'²-ac 로 바로 구하신건가요?
네 맞습니다아! 근데 그렇게 해도 되는건가요? 제가 고1수학을 날림으로 배워서..
넵, 이해를 도울 수 있는 두 가지 관점을 소개해드리겠습니다
1. 평행이동.
x축과 만나지 않는 이차함수를 좌우로 평행이동해도 여전히 x축과 만나지 않는다. 따라서 해당 이차함수를 2만큼 왼쪽으로 이동시킨다면 3x제곱 +2ax+2이고, 여기에 판별식을 쓰면 된다.
2. 치환
x-2를 t라는 새로운 문자로 잡는다.
사실 1과 본질적으로 같다.
감사합니다!! 저는 x가 변수인 상황에서 판별식을 쓰는데, 2만큼 평행이동을 해도 똑같이 성립이 되는지 궁금했었는데 이해가 되네요! 정말 감사합니다 ㅎㅎ 덕분에 수준높은 풀이법 하나 배워갑니다 . 감사합니다!!
넵 ㅎㅎ 앞으로도 좋은 글 많이 올려볼게요저도 굳이 근의 분리까지 안끌고가고 싶어서
저는 그냥 잘 모르겠으면 화끈하게 근의공식 때리고, 두 근이 모두 k보다 작아야한다면
D >=0인 경우, 그냥 더 큰 근이 k보다 작다! 라고 하게끔 가르쳤는데
기하학적인 풀이도 너무 좋은 듯 합니다 ㅎ
잘 보고 갑니다!
관찰중인 문자의 차수가 여러개가 아닌 이상 (예를 들면 식에 a도 있고 a제곱도 있는 경우), 위 기하적인 풀이가 근의 분리를 완전히 대체합니다
.
의견 공유 감사해요 ㅎㅎ
고정된 요소가 필요하다는 말씀 맞으실까요? 좋은 댓글 감사합니다 ㅎㅎ
오 이거 좋네요. 시간 단축 꿀일 듯.
+ 이번 6평 14번 부등식도, 부등식 여러개로 케이스 분류해서 끼워 맞추지 않고, 일차함수랑 이차함수 만나는 걸로 구할 수 있음!
정말감사합니다
오늘도 배워갑니다 감사합니다
많은 상황에서 상위 호환은 맞지만 계수의 꼴에 따라선 대체가 안 되는 경우도 있습니다!
(고정점 지나는 직선으로 해석이 안 되는 경우도 있음)
맞습니다저도 위에 댓글에 달아놨는데, 그 경우에는 기하적 의미를 깔끔하게 부여할 수 없습니다
본문에도 추가해야겠네요
질질 쌌다.
미분을 활용하여 직선의 회전 이동을 관찰한다, 감사히 잘 읽었습니다!
좋은 글 감사합니다
선생님 진짜 미틴넘이시네요 미친초고수다