Curl-Div
게시글 주소: https://h.orbi.kr/00069376678
Curl-Divergence lemma라고 함수열의 수렴에 대해서 이야기 하는데 희한하게도 Curl과 Divergence에 bound를 주는 것을 가정으로 하고 있다. 직관적으로 이게 어떻게 연관되어 있는지 잘 와닿지 않는데, 일단 statement 먼저 보자.
The Curl-Div lemma. Suppose $u_m\rightharpoonup u, v_m\rightharpoonup v$ weakly in $L^2(\Omega;\Bbb R^3)$ on a domain $\Omega\subset\Bbb R^3$ while the sequences $(\mathrm{div} u_m)$ and $(\mathrm{curl} v_m)$ are relatively compact in $H^{-1}(\Omega)$. Then for any $\varphi\in C^\infty_0(\Omega)$ we have
$$\int_{\Omega}u_m\cdot v_m\varphi dx\to\int_{\Omega}u\cdot v\varphi dx$$
as $m\to\infty$.
여기서 나오는 $\cdot$ 은 Euclidean space에서의 내적을 의미한다. Statement의 의미를 다시 말하면, 미분에 bound를 줘서 nonlinear expression 의 weak continuity를 얻어내는 것이다.
이걸 differential form의 언어로 바꿔서 표현을 하기 시작하면, 이 curl과 div에 boundness 조건을 주는 것이 weak convergence에 어떤 영향을 주는지 좀 더 직관적으로 드러난다.
$M$을 closed oriented smooth $n$-manifold라고 하자. 이제 $u_m\rightharpoonup u, v_m\rightharpoonup v$ in $L^2$ such that $(d^* u_m), (dv_m)$ 들이 $H^{-1}$에서 relatively compact라고 하자. 이 조건은 위의 Curl-Div lemma에서 Curl과 Div의 relative compactness와 대응된다. $u_m, v_m$을 $u_m - u, v_m - v$로 바꿔서, $u = 0, v = 0$으로 가정할 수 있다. 그러면 Hodge decomp.에 의해,
$$u_m = da_m + d^* b_m + c_m,$$
$$v_m = df_m + d^* g_m + h_m,$$
where $c_m,h_m$ are harmonic 1-forms and $a_m \rightharpoonup 0, b_m \rightharpoonup 0, f_m \rightharpoonup 0, g_m \rightharpoonup 0$ in $W^{1.2}(M)$, $c_m \rightharpoonup 0, h_m \rightharpoonup 0$ in $L^2(M)$ 이런 것을 얻을 수 있다.
Hodge decomp.의 consequence중 하나가 $M$위에서의 space of harmonic 1-form들의 공간은 locally compact이다. 따라서, smooth하게 $c_m \to 0$, $h_m \to 0$ 된다. 또한 가정에 의해서 $\Delta a_m = d^* u_m, \Delta g_m = dv_m$이 $H^{-1}$에서 relatively compact이기 때문에, $(da_m),(d^* g_m)$은 $L^2$에서 precompact하게 들어가있다. 따라서,
$$u_m = d^* b_m + o(1),\quad v_m = df_m + o(1),$$
in $L^2$가 된다. 또한,
$$\langle u_m,v_m\rangle_g \omega_g = \ast (\langle d^*b_m, df_m\rangle_g) = (d\ast b_m)\wedge df_m = d((\ast b_m)\wedge df_m),$$
임을 알 수 있다. 여기가 그 "미분"의 모습이 드러나는 핵심적인 부분이다.
구체적으로 말하진 않겠지만, Rellich theorem 이라는 것이 있는데, 이것은 $b_m\to 0$ in $L^2$임을 imply한다. 따라서
$$\int_M \langle u_m,v_m\rangle_g\varphi\omega_g = \int_M d((\ast b_m)\wedge df_m)\varphi + o(1) = (-1)^n \int_M (\ast b_m)\wedge df_m\wedge d\varphi + o(1) = o(1).$$
따라서 앞선 Curl-Div lemma와 같은 결론을 낸다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
이세계에 존재할수도 있고 아닐수도 있고 남자일수도 있고 여자일수도 있고
-
별의 광도, 별의 반지름은 별의 광도 구하는 식을 변형하여 구할 수 있는데 별의...
-
수고했습니다 4
오늘 공부가 유난히 안되던 분들도 늦어서 벼락치기 하시는 분들도 꾸준히 열심히...
-
굳이 고된 나를 택한 그으으대에여어ㅓㅓ
-
우선 저는 뼈 속까지 문과인 예비 고3입니다. 여태껏 학력평가 보면 수학은 항상...
-
머리도 아프고 컨디션이 안좋아서 좀 많이잤네요… 그냥 졸린거면 카페인먹고 버티는데...
-
우우 아가 자야지 15
잠 온다
-
강기본 듣기 시작했어요 끝나면 강기분 이어서 하려는데 빠르게 올리는 효과적인 방법 있을까요?
-
자기전에 마지막 질받 10
사실 자는거 아님
-
레스고 지투 2
잘하네
-
9월더프컷 9
-
냅다 어떻게 사시나요 하면 도믿같냐 편한 애는 이미 달에 몇번씩해도 괜찮은데 뭔가...
-
그래야 스키를 재미있게 탈수있는데
-
고구마님이 올려주신 피뎊으로 하루에 1-2 지문 풀고 분석하고 애매한 선지나 해설...
-
학교 1교시였습니다만, 교실 구석에서 조용히 "우리는 해변에서 싸울 것입니다"...
-
평가원 성적은 잘 안나오면서 실모딸 치고 다른 애들 까내리기 진짜 매일 듣는다..
-
음식이 부글부글 끓다가 폭발하는 꿈꿨음 음식이 폭발할 수도 있구나하고 납득하면서...
-
1) 벌점먹으면 왜 산화됐다고 하나요? 2) 진짜로 덕코 편의점 사용 가능한가요?...
-
꼭 풀어볼것 ㅇㅇ
-
오래되지 않은 최근의 생각이다.
-
아무도날몰라
-
국어 질문 하나만 12
수능날 파본검사할때 문학 연계작 찾으러달리는게 맞죠..??진지하게 한장한장 파본검사 안해도 되는거져
-
덕 코인 6
모으면 뭐가좋음? 기분이좋나?
-
진짜 수능이었으면 지금 텔그정도로 가는건가요?
-
4회에서 처음으로 45점 맞음 ㅜㅜ 기쁘다
-
덕코를 모으면 12
덕코가 증가합니다 그게 덕코니까
-
혼자 개노가다 뺑뺑이 수학 N제 실모 공부하다가 해설강의 들으니까 개좋다......
-
생각 외로 실질적인 교차지원 비율은 줄지 않을듯. 교차지원 할 애들은 이미 사탐런 했거든.
-
수능날 시간부족할까봐 무서운데 왜 난이도가 점점 하향하는거지....
-
이제 5등급만 찍으면 되는거냐구 캬캬
-
왜냐하면 의대 안썼으니까..
-
RF 1
Residually finite: For any nontrivial element...
-
ㅋㅋ 딱 저느낌임 오만하게 살다가 멀리 못간다 ㅋㅋ
-
오공완 8
오늘 독감 주사 맞아서 힘들어요
-
D-41 오공완 4
이것도 힘들어 죽겠는데 정오에 7시간 찍히는 분들은 대체 어떤 분들이실까요…. 대단….
-
마지막게시물로 서울대 성적표 올려놓고 끝내고싶다 엉엉
-
님들은대학왜감 10
원하는 학과?명성?행복?
-
저만 열품타 5
멈추면 다시키는거 까먹나요,,, 시간 측정 매일 실패중이에요
-
병훈이햄도 25분동안 푸네.. 어떤 문젠거노
-
작년에 월화 풀실모에 추가 공부 더하니까 목요일에 컨디션이 별로였어서 저는 토요일...
-
9모 언매 4 확통 5 영어 4 정법 4 사문 4 농어촌 버프로 현역 서울대...
-
버스땜에 시간을 1시간 정도 날렸네요… 내일부터는 더 열심히 하겠습니다!
-
잇올에서 강K 샀던거 오늘 왔는데 화학 K+는 답지 같이 왔는데 K는 왜 답지...
-
오늘의공부 1
국어:비문핟 3지문 문학 3지문 언매한세트(다맞음ㅎㅎ) 영어 10지뮨 수학...
-
오르비가 야해지고 있다 -> 제 댓글 중 너무 야해요의 비중이 급증했어요 너무 야해요
-
한병훈쌤 왤케 훈훈하심 큐앤에이도 하트남발이고 큩보이야완전~..프로필사진올블랙어쩜ㅜㅜ 나미친듯
-
바이퍼존나멋있다 0
박쌤이랑사귀고싶다
-
뭐 외우면 잘풀리는게 있는건가요? 진짜 준킬러가 너무 안풀려요 ㅜㅜ 공부법이라도...
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.