수리 질문 두 개 부탁드립니다.
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1. 임의의 실수 x에 대하여 부등식 3^(x+1) + 2×3^{(x+2)/2} + a ≥ 0이 성립하도록 하는 실수 a의 최솟값은?
이 문제에서, 준식을 3^(x/2)=t로 놓고 (t>0)이라 본 다음 3t^2+6t+a≥0이라 해서 보는 것 까진 알겠습니다. 그런데 해설지에서 이 준식이 0 이상이 되게 하는 조건을 묻던데, t>0이기 때문에 t=0에서의 함숫값이 0 이상이면 준식이 0 이상이 되게 한다고 보더군요.
그런데 제가 궁금한 점은 t>0이라는 조건이 있는데, 왜 t=0에서의 함숫값이라는 조건을 고려하는 건가요? 그 부분이 이해가 잘 안 됩니다.
2. 한 개의 주사위를 10번 던져서 n번째 나오는 눈의 수가 짝수이면 Xｎ=2, 홀수이면 Xｎ= -1의 값을 주도록 한다.
그러면 ∑(위 10 아래 1) Xｎ일 확률은?
이라는데 답지에서는 애초부터 ∑(위 10 아래 1) Xｎ=2이라고 가정하고 풀던데 그 이유를 잘 모르겠습니다.
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1. 일종의 극한 센스이지요. f(t) = 3t² + 6t + a 로 둡시다.
그러면 사실상 우리가 t > 0 에서 f(t)의 최소값 - 물론, 엄밀히 말해서 그런 건 존재하지 않지만, 그 경계라고 할 수 있는 무엇인가 - 가 f(0)이라는 것입니다.
따라서 f(0) = a 가 0 이상이면 f(t)도 주어진 범위에서 0 이상이 되겠지만, f(0) = a 가 0보다 작다면, 분명 어떠한 t에 대해서는 f(t) 역시 0보다 작게 될 것이라는 논리이지요.
2. "그러면 ∑_{n from 1 to 10} Xｎ일 확률은?" 이 무슨 말이지요? 무엇인가 빠뜨린 것이 없는지 한번 체크해주세요.
답변 감사합니다!
2번은
X1+X2+X3+X4+...+X10일 확률은? 이랑 같은 뜻입니다. 여기서 숫자들은 n자리에 1부터 10까지가 대입되는 건데 작게 숫자 표시를 할 줄 몰라서 저런 식으로 일단 썼어요. ㅠㅠ
제 말은 그런 게 아니라, "X1+X2+X3+X4+...+X10일 확률은?" 이 무의미한 질문이라는 것입니다.
열 개의 확률변수를 더했는데, 그래서 어쨋다는 건지 전혀 이야기가 없잖아요.
쉽게 말해서, 확률이라는 값을 이야기할 수 있는 대상은 어떤 사건 혹은 사건들의 모임입니다. 어떤 사건이 얼마만큼의 확률을 가질까? 하는 것이 올바른 물음이라는 것이지요. (이를 매우 어려운 말로 표현하자면, 확률은 주어진 확률공간 위에서의 측도(measure)라는 것입니다.)
그런데 위 문제에서는 도대체 어떤 사건에 대한 확률을 구하라는 것인지 전혀 이야기가 없지요. 그러니 의미가 없지요. 비유하자면, "이 방에는 30명의 학생이 있습니다. 학생의 이름은 무엇일까요?" 같은 질문이라는 겁니다. 도대체 누구의 이름을 묻는 건지 알 수 없지요. 마찬가지입니다. 이 질문도 어떤 사건의 확률을 묻는 건지 전혀 언급이 없다는 것입니다.
물론... 풀이를 보면 아마 ∑_{n from 1 to 10} Xｎ = 2 일 확률을 구하라는 것 같습니다. 만약 그렇다면, 문제를 적을 때 오타를 낸 것이겠지요. 오타가 아니라고 주장한다면, 문제 오류고요. 뭐, 문제집에서 오타나 오류가 있는 건 드문 일도 아니니까... 그냥 너그러이 넘어가세요.
오 그렇군요.. 답변 감사합니다. ^^ 문제 오류인가 봐요. 문제를 그대로 적었거든요.